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歷史

微分幾何（differential geometry）作為一個(gè)獨(dú)特的學(xué)科的出現(xiàn)一般歸功于高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（ Bernhard Riemann）。黎曼在哥廷根的著名的康復(fù)講座中描述了多個(gè)面向。他通過在一個(gè)新的方向上改變給定對(duì)象的直觀過程激發(fā)了多方面的想法，并且預(yù)先描述了協(xié)調(diào)系統(tǒng)和圖表在隨后形式發(fā)展中的作用：

物理學(xué)家馬克士威（James Clerk Maxwell）和數(shù)學(xué)家?guī)鞝柊退雇辛_（Gregorio Ricci-Curbastro）和齊維塔（Tullio Levi-Civita）的成果導(dǎo)入了張量分析和廣義協(xié)變性的概念，它將內(nèi)在幾何屬性識(shí)別為關(guān)于協(xié)調(diào)變換的不變量。這些想法在1912年愛因斯坦發(fā)展廣義相對(duì)論理論時(shí)取得關(guān)鍵性的應(yīng)用。外爾（Hermann Weyl）于1912年給出了微分流形的一個(gè)內(nèi)在的定義。1930年代，該課題基礎(chǔ)性方面的工作被哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney）等人厘清，使得從19世紀(jì)下半葉起開始發(fā)展起來的相關(guān)的直覺知識(shí)變得更精確，并通過微分幾何和李群使微分流形的理論得到進(jìn)一步的發(fā)展。

?C-可微流形的定義

設(shè)r{\displaystyle r} 是自然數(shù)，m{\displaystyle m}-維拓?fù)淇臻g M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 被稱為是 m{\displaystyle m}-維 Cr{\displaystyle \mathbf {C} ^{r}}可微流形，如果，

M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 為豪斯多夫空間

M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 被 m{\displaystyle m}-維坐標(biāo)鄰域所覆蓋，換句話說，存在M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 中的 m{\displaystyle m}-維坐標(biāo)鄰域族{(Uα α -->,φ φ -->α α -->)}α α -->∈ ∈ -->A{\displaystyle \left\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\right\}_{\alpha \in A}}，使得M=∪ ∪ -->α α -->∈ ∈ -->AUα α -->{\displaystyle {\mathcal {M}}=\cup _{\alpha \in A}U_{\alpha }}

滿足Uα α -->∩ ∩ -->Uβ β -->:=Wα α -->β β -->≠ ≠ -->? ? -->{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }:=W_{\alpha \beta }\neq \phi } 的任意 α α -->,β β -->∈ ∈ -->A{\displaystyle \alpha ,\beta \in A}，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

注意：每個(gè)座標(biāo)鄰域 Uα α -->{\displaystyle U_{\alpha }} 都是流形 M{\displaystyle {\mathcal {M}}} 中的開集合。

當(dāng)?shù)谌齻€(gè)條件中的座標(biāo)變換改成是光滑映射（代表可無限次微分）時(shí)，滿足這三條件的稱為光滑流形，寫作C∞ ∞ -->{\displaystyle \mathbf {C} ^{\infty }}流形；當(dāng)座標(biāo)變換不是可微映射，僅是連續(xù)映射時(shí)，滿足這三條件的稱為拓?fù)淞餍?，寫作C0{\displaystyle \mathbf {C} ^{0}}流形。

圖冊(cè)

X{\displaystyle X}Uα α -->{\displaystyle U_{\alpha }}Uβ β -->{\displaystyle U_{\beta }}φ φ -->α α -->{\displaystyle \varphi _{\alpha }}φ φ -->β β -->{\displaystyle \varphi _{\beta }}φ φ -->α α -->β β -->{\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }}φ φ -->β β -->α α -->{\displaystyle \varphi _{\beta \alpha }}Rn{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}Rn{\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}流形由卡（chart）的集合定義

拓?fù)淇臻gX上的圖冊(cè)稱為卡（chart）的{(Uα, φα)}的集合，其中Uα是覆蓋 X的開放集合，并且對(duì)于每個(gè)索引α

是Uα在n維真實(shí)空間的開放子集上的同胚。圖冊(cè)的轉(zhuǎn)移映射（transition map）功能是

以圖冊(cè)來定義流形的概念是由夏爾·埃雷斯曼于1943年所提出。每個(gè)拓?fù)淞餍味加幸粋€(gè)圖冊(cè)。C-atlas是一個(gè)圖冊(cè)，其轉(zhuǎn)換圖是C。拓?fù)淞餍尉哂蠧-atlas，并且通常C-流形具有C-atlas。連續(xù)圖冊(cè)（continuous atlas）是C圖冊(cè)，平滑圖冊(cè)是C圖冊(cè)，分析圖冊(cè)（analytic atlas）是C圖冊(cè)。

替代定義

偽群

偽群（Pseudogroups）的概念提供了彈性的圖冊(cè)泛化（generalization of atlases），允許以統(tǒng)一的方式在流形上定義成各種不同的結(jié)構(gòu)。偽群由拓?fù)淇臻gS和由S的開放子集到S的其他開放子集的同態(tài)組成的集合Γ組成，使得

如果f ∈ Γ，且U是f的域的開放子集，則限制f|U也在Γ。

如果f 開放子集合的同胚, ∪ ∪ -->iUi{\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}}, 到 S的開放子集，則 f ∈ Γ為每個(gè)i提供 f|Ui∈ ∈ -->Γ Γ -->{\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma }。

對(duì)于每個(gè)開放的U ? S， U的身份轉(zhuǎn)換在Γ。

如果f ∈ Γ，則f ∈ Γ。

Γ的兩個(gè)元素組成在Γ。

最后三個(gè)條件類似于一個(gè)群（group）的定義。注意，Γ不必是群，因?yàn)檫@些函數(shù)在S上不是全域定義的。

結(jié)構(gòu)層

有時(shí)使用替代方法來賦予具有C結(jié)構(gòu)的流形是有用的。這里k = 1, 2, ..., ∞, 或ω為實(shí)分析流形（real analytic manifolds）。不考慮坐標(biāo)圖，可以從流形本身定義的功能開始。M 的結(jié)構(gòu)層（structure sheaf），表示為C，是一種函數(shù) ，它為每個(gè)開放集U ? M定義連續(xù)函數(shù)U → R的代數(shù)C(U)。

可微分函數(shù)

在n維可微分流形 M上的實(shí)值函數(shù)f在點(diǎn)p ∈ M處被稱為可微分 ，如果它在p周圍定義的任何坐標(biāo)圖中是可微分的。更準(zhǔn)確地說，如果(U, φ)是卡（chart），其中U包含p，是 M的開放集合，而且φ : U → R是定義卡（chart）的映射，則f是可微分的，如果且僅當(dāng)

在φ(p)處是可微分的。一般會(huì)有很多可用的卡（chart）；然而，可微分的定義不取決于p的卡（chart）的選擇。從鏈?zhǔn)椒▌t（chain rule）應(yīng)用到一個(gè)卡（chart）和另一個(gè)圖之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)，如果f在p的任何特定卡（chart）中都是可微分的，那么在p的所有卡（chart）中都是可微分的。類似的情況適用于定義C函數(shù)，平滑函數(shù)和分析函數(shù)。

叢

切線叢

點(diǎn)的切空間由該點(diǎn)處的可能的方向?qū)?shù)構(gòu)成，并且具有與流形相同的維數(shù)n。對(duì)于一組（非奇異）坐標(biāo)xk在本地點(diǎn)，坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)（coordinate derivatives）? ? -->k=? ? -->? ? -->xk{\displaystyle \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}確定切線空間的完整基礎(chǔ)。

余切叢

向量空間的對(duì)偶空間（dual space）是矢量空間上的實(shí)值線性函數(shù)集合。余切空間處的一點(diǎn)是該點(diǎn)的切線空間的對(duì)偶位置，而余切叢（cotangent bundle）是所有余切空間的集合。

流形結(jié)構(gòu)

黎曼流形

黎曼流形是一個(gè)可微分的流形，切空間以微分的方式產(chǎn)生內(nèi)積。內(nèi)積結(jié)構(gòu)可以稱為黎曼度量（metric）。該度量可以用于互變向量和輔助向量，并定義rank 4黎曼曲率張量。黎曼流形有長度、體積和角度的概念。任何可微流形都可以被稱為黎曼結(jié)構(gòu)。

扭對(duì)稱流形

一個(gè)共同的流形是具有封閉性的，非退化的symmetric 2-tensor形式的流形。這種情況迫使相似的流形是均勻的。在漢密爾頓力學(xué)中作為相位空間出現(xiàn)的反切叢（Cotangent bundles）是激勵(lì)的例子，但是許多緊湊型流形也具有扭對(duì)稱（symplectic）結(jié)構(gòu)。

參見

仿射聯(lián)絡(luò)

圖冊(cè) (拓?fù)鋵W(xué))

克里斯托費(fèi)爾符號(hào)

微分幾何

參考文獻(xiàn)

陳, 省身; 陳維桓.微分幾何講義. 北京大學(xué)出版社. 2001. ISBN 7-301-05151-4. 

蘭, 塞爾日.Fundamentals of Differential Geometry [微分幾何基礎(chǔ)]. 北京:施普林格出版社、世界圖書出版公司. 2010 [1998]. ISBN 7-5100-0540-X. 

德拉姆, 喬治. Differentiable Manifolds [可微流形]. 北京: 施普林格出版社、中國學(xué)術(shù)出版社. 1984 [1984].CSBN W13262·15. 

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