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簡(jiǎn)介

對(duì)于數(shù)學(xué)函數(shù)的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函數(shù)要連續(xù)，更進(jìn)一步的要求是導(dǎo)數(shù)（因?yàn)榭晌⒑瘮?shù)也是連續(xù)的），再?gòu)?qiáng)一些的概念是導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性（這些函數(shù)稱為C1{\displaystyle C^{1}} — 參看光滑函數(shù)）?？晌⒑瘮?shù)在很多領(lǐng)域相當(dāng)重要，特別是在微分方程中。在二十世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)C1{\displaystyle C^{1}}函數(shù)空間不是研究微分方程的解的恰當(dāng)?shù)目臻g。

而索博列夫空間正是C1{\displaystyle C^{1}}空間的替代品，用于研究偏微分方程的解。

技術(shù)性討論

我們從最簡(jiǎn)單情況下的索博列夫空間開(kāi)始，也就是單位圓上的一維情況。在這個(gè)情況下，索博列夫空間Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}定義為L(zhǎng)的子集，使得f和它的直到k階的導(dǎo)數(shù)有一個(gè)有限的L范數(shù)，對(duì)于某個(gè)給定的p ≥ 1。定義正確意義上的導(dǎo)數(shù)時(shí)必須小心。在這個(gè)一維問(wèn)題中，假設(shè)f(k? ? -->1){\displaystyle f^{(k-1)}}是幾乎處處可微并且等于其勒貝格積分格積分（這可康托除康托函數(shù)這樣的例子）就足夠了。

按照這個(gè)定義，索博列夫空間有一個(gè)自然的范數(shù),

賦予了范數(shù)∥ ∥ -->? ? -->∥ ∥ -->k,p{\displaystyle \|\cdot \|_{k,p}}的Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}是一個(gè)完備空間。實(shí)際上只要取序列中的第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)就可以了，也即，如下的范數(shù)

和上述范數(shù)等價(jià)。

例子

有些索博列夫空間有簡(jiǎn)單的表述。例如，在一維情況，W1,1{\displaystyle W^{1,1}}就是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)空間，而W是李普希茲函數(shù)空間。還有，Wk,2{\displaystyle W^{k,2}}可以自然地用其傅立葉級(jí)數(shù)的術(shù)語(yǔ)定義，也就是

其中f^ ^ -->{\displaystyle {\widehat {f}}}是f的傅立葉級(jí)數(shù)。和前面一樣，可以采用等價(jià)的范數(shù)

兩個(gè)表達(dá)都可以從帕塞瓦爾定理以及微分等價(jià)于傅立葉系數(shù)乘以in這個(gè)事實(shí)導(dǎo)出。這個(gè)特殊情況很重要，因此有一個(gè)特別的符號(hào)，Hk{\displaystyle H^{k}}:

非整數(shù)k的索博列夫空間

為避免混淆，在討論不是整數(shù)的k的時(shí)候，我們通常用s來(lái)取代它，也即Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}或者Hs{\displaystyle H^{s}}。

p = 2的情形

p = 2的情形是最簡(jiǎn)單的情形，因?yàn)楦盗⑷~表述可以直接推廣。我們定義范數(shù)為

而索博列夫空間Hs{\displaystyle H^{s}}為具有有限范數(shù)的函數(shù)的空間。

分?jǐn)?shù)階微分

如果p不是2，就采取類似的方法。在這個(gè)情況下帕塞瓦爾定理不再成立，但是微分還是對(duì)應(yīng)于在傅立葉域中的乘法，并且可以推廣到非整數(shù)階。因此，可以定義一個(gè)分?jǐn)?shù)階微分的算子其階為s，如下所示

換句話說(shuō)，取傅立葉變換，乘以(in)s{\displaystyle (in)^{s}}再取逆傅立葉變換（定義為傅立葉－乘法－逆傅立葉的算子稱為乘子，這本身也是一個(gè)研究主題）。這使得我們可以定義s,p{\displaystyle s,p}的索博列夫范數(shù)如下

而且，跟平常一樣，索博列夫空間是有有限索博列夫范數(shù)的函數(shù)的空間。

復(fù)插值

獲取“分?jǐn)?shù)索博列夫空間”的另一個(gè)辦法是采用復(fù)插值。復(fù)插值是一個(gè)通用的技術(shù)：對(duì)于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空間X及Y，且這二者都包含于某個(gè)更大的巴拿赫空間中，我們可以創(chuàng)建“過(guò)渡空間”，記為[X,Y]t。（后面將會(huì)討論到一個(gè)不同的方法，所謂的實(shí)插值方法，它對(duì)于跡的分類的索博列夫理論有重要的意義）。

這樣的空間X和Y稱為插值對(duì)。

下面提一些關(guān)于復(fù)插值的有用的定理：

定理 (插值): [ [X,Y]a , [X,Y]b ]c = [X,Y]cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值對(duì)，并且若T是一個(gè)線性映射，定義與X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上連續(xù)，則T從[X,Y]t到[A,B]t上連續(xù)。并且有如下的插值不等式：

||T||[X,Y]t→ → -->[A,B]t≤ ≤ -->C||T||X→ → -->A1? ? -->t||T||Y→ → -->Bt.{\displaystyle ||T||_{[X,Y]_{t}\to [A,B]_{t}}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^{t}.}

參看: Riesz-Thorin定理。

回到索博列夫空間上來(lái)，我們要通過(guò)對(duì)幾個(gè)Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}的插值得到非整數(shù)s的Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}。第一件事當(dāng)然是看看這個(gè)可以給出一致的結(jié)果，而我們確實(shí)有

定理: [W0,p,Wm,p]t=Wn,p{\displaystyle \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}}，如果n是一個(gè)整數(shù)使得n=tm。

因此，復(fù)插值是一個(gè)得到一個(gè)空間Wk,p{\displaystyle W^{k,p}}之間的空間Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}的一個(gè)連續(xù)統(tǒng)的一致的方法。而且，它給出了和分?jǐn)?shù)階微分同樣的空間（但參看延拓算子中的一個(gè)變化）。

多維情況

現(xiàn)在考慮在R及其子集上的索博列夫空間。從圓到線的變化只涉及傅立葉公式的技術(shù)細(xì)節(jié) — 基本上就是將傅立葉級(jí)數(shù)變?yōu)楦盗⑷~變換，將求和變?yōu)榉e分。到多維情況的轉(zhuǎn)換有更大的難度，從定義就開(kāi)始變化。f(k? ? -->1){\displaystyle f^{(k-1)}}是f(k){\displaystyle f^{(k)}}的積分這個(gè)條件無(wú)法一般化，而最簡(jiǎn)單的解決辦法是考慮分布理論意義下的導(dǎo)數(shù)。

由此可以得到一個(gè)形式化的定義。令D為R中開(kāi)集。定義索博列夫空間

為定義于D上的函數(shù)f的族，使得對(duì)于滿足下式的每個(gè)多重索引α α -->{\displaystyle \alpha }

f(α α -->){\displaystyle f^{(\alpha )}}是一個(gè)函數(shù)，且

在它上面的一個(gè)合適的范數(shù)是所有這樣的α上的那些L范數(shù)的和。它是完備的，因此是一個(gè)巴拿赫空間。

實(shí)際上，這個(gè)方法在一維也成立，并且和前面分?jǐn)?shù)階微分中所述并無(wú)多大區(qū)別。

例子

在多維情況，有些結(jié)果不再成立，例如，W1,1{\displaystyle W^{1,1}}只包含連續(xù)函數(shù)。例如，1/|x|屬于W1,1(B3){\displaystyle W^{1,1}(B^{3})}，其中B3{\displaystyle B^{3}}是三維的單位球。對(duì)于足夠大的k，Wk,p(D){\displaystyle W^{k,p}(D)}將只包含連續(xù)函數(shù)，但是對(duì)于哪個(gè)k才夠取決于p以及維數(shù)這二者。

但是，W和Wk,2{\displaystyle W^{k,2}}的表述在做了必要的修改之后還是成立的。

索博列夫嵌入

索博列夫空間Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}是Lp(Rn){\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}的子集。一個(gè)很自然的問(wèn)題是:有沒(méi)有其它的Lp空間包含Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}？索博列夫嵌入定理給出一個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)（參看）:

定理:令k,n∈ ∈ -->Z>0{\displaystyle k,n\in \mathbb {Z} _{>0}}且1≤ ≤ -->p≤ ≤ -->∞ ∞ -->{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }。則如下命題成立:

若1p>kn{\displaystyle {\frac {1}{p}}>{\frac {k}{n}}}則Wk,p(Rn)? ? -->L11p? ? -->kn(Rn){\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})\subseteq L^{\frac {1}{{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}}}(\mathbb {R} ^{n})}（作為集合）。而且，包含關(guān)系是一個(gè)有界算子。

若1p=kn{\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {k}{n}}} 則所有有緊支撐的函數(shù)f∈ ∈ -->Wk,p(Rn){\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}是Lq(Rn){\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}的元素，其中q{\displaystyle q 。

跡

令s > ?。若X為開(kāi)集，邊界其邊界G"足夠光滑"，則我們可以定義映射P的跡（也即，限制)如下

也即，u限制到邊界G上。一個(gè)可能的光滑條件是一致Cm{\displaystyle C^{m}}， m ≥ s。 （但是注意，這個(gè)矩陣跡沒(méi)有關(guān)系。）

這個(gè)跡映射P其定義域?yàn)镠s(X){\displaystyle H^{s}(X)}，而其像正好是Hs? ? -->1/2(G){\displaystyle H^{s-1/2}(G)}。如果要完全形式化，P首先定義在無(wú)窮可微函數(shù)上，并且通過(guò)連續(xù)性擴(kuò)展到整個(gè)Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}。注意取跡"失去了半個(gè)導(dǎo)數(shù)"。

確定Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}的跡映射的像要困難很多，需要使用實(shí)插值這個(gè)工具，在此不具體討論。其最后的結(jié)果是Besov空間。事實(shí)上，在Ws,p{\displaystyle W^{s,p}}空間的情形，我們不是失去半個(gè)導(dǎo)數(shù)，我們失去了1/p個(gè)導(dǎo)數(shù)。

延拓算子

若X是開(kāi)域，其邊界不是太不良（例如，如果其邊界為流形，或者滿足更寬松但更奇特的“錐條件”）則存在一個(gè)算子A將X的函數(shù)到R的函數(shù)，使得：

Au(x) = u(x) 對(duì)于幾乎所有X中的x以及

A連續(xù)，從Wk,p(X){\displaystyle W^{k,p}(X)}到Wk,p(Rn){\displaystyle W^{k,p}({\mathbb {R} }^{n})}，對(duì)于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整數(shù)k。

我們稱算子A為X的延拓算子。

延拓算子是最自然的定義非整數(shù)s的Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}方法（我們不能直接在X進(jìn)行，因?yàn)槿「盗⑷~變化是一個(gè)整體操作）。我們定義Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}為：u屬于Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}當(dāng)且僅當(dāng)Au屬于Hs(Rn){\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}。等價(jià)的有，復(fù)插值產(chǎn)生同樣的Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}空間只要X存在一個(gè)延拓算子。如果X沒(méi)有一個(gè)延拓算子，復(fù)插值是唯一取得Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}空間的辦法。

因此，插值不等式仍然成立。

用零延拓

我們定義H0s(X){\displaystyle H_{0}^{s}(X)}為無(wú)窮可微緊支撐函數(shù)的空間Cc∞ ∞ -->(X){\displaystyle C_{c}^{\infty }(X)}在Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)閉包的閉包。給定一個(gè)跡的定義如上，我們可以給出如下命題

定理：令X為一致C正規(guī)空間，m ≥ s并令P為線性映射，將Hs(X){\displaystyle H^{s}(X)}中的u映射到

其中d/dn是垂直于G的導(dǎo)數(shù)，而k是最大的小于s的整數(shù)。則H0s{\displaystyle H_{0}^{s}}正好是P的核。

若u∈ ∈ -->H0s(X){\displaystyle u\in H_{0}^{s}(X)}，我們可以一種自然的方式定義它的零延拓u~ ~ -->∈ ∈ -->L2(Rn){\displaystyle {\tilde {u}}\in L^{2}({\mathbb {R} }^{n})}，也就是

定理：令s>?。將u變?yōu)閡~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {u}}}的映射是到Hs(Rn){\displaystyle H^{s}({\mathbb {R} }^{n})}中的連續(xù)映射，當(dāng)且僅當(dāng)s不是形為n+?（對(duì)于某個(gè)整數(shù)n）。

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