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一元微分

定義

函數(shù)在一點的微分。其中紅線部分是微分量dy{\displaystyle {\textrm oilh89k}y}，而加上灰線部分后是實際的改變量Δ Δ -->y{\displaystyle \Delta y}

設函數(shù)y=f(x){\displaystyle y=f(x)}在某區(qū)間I{\displaystyle {\mathcal {I}}}內(nèi)有定義。對于I{\displaystyle {\mathcal {I}}}內(nèi)一點x0{\displaystyle x_{0}}，當x0{\displaystyle x_{0}}變動到附近的x0+Δ Δ -->x{\displaystyle x_{0}+\Delta x}（也在此區(qū)間內(nèi)）時，如果函數(shù)的增量Δ Δ -->y=f(x0+Δ Δ -->x)? ? -->f(x0){\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}可表示為 Δ Δ -->y=AΔ Δ -->x+o(Δ Δ -->x){\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}

通常把自變量x{\displaystyle x}的增量Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}稱為自變量的微分，記作dx{\displaystyle {\textrm m7y99q3}x}，即dx=Δ Δ -->x{\displaystyle {\textrm toagzxv}x=\Delta x}。

和導數(shù)的關系

微分和導數(shù)是兩個不同的概念。但是，對一元函數(shù)來說，可微與可導是完全等價的概念?？晌⒌暮瘮?shù)，其微分等于導數(shù)乘以自變量的微分dx{\displaystyle {\textrm 26rrhs1}x}，換句話說，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。于是函數(shù)y=f(x){\displaystyle y=f(x)}的微分又可記作dy=f′(x)dx{\displaystyle {\textrm fha33hq}y=f"(x){\textrm htvg4j8}x}。

幾何意義

設Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta 曲線是曲線y=f(x){\displaystyle y=f(x)}上的點P{\displaystyle P}在橫坐標上的增量，Δ Δ -->y{\displaystyle \Delta y}是曲線在點P{\displaystyle P}對應Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}在縱坐標上的增量，dy{\displaystyle {\textrm l2blc8d}y}是曲線在點P{\display切線yle P}的切線對應Δ Δ -->x{\displaystyle \Delta x}在縱坐標上的增量。當|Δ Δ -->x|{\displaystyle \left|\Delta x\right|}很小時，|Δ Δ -->y? ? -->dy|{\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm v5jqfyc}y\right|}比|Δ Δ -->y|{\displaystyle \left|\Delta y\right|}要小得多(高階無窮小)，因此在點P{\displaystyle P}附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子

設有函數(shù)f:x? ? -->x2{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}，考慮它從某一點x{\displaystyle x}變到x+dx{\displaystyle x+{\textrm epq0sdf}x}。這時，函數(shù)的改變量f(x+dx)? ? -->f(x){\displaystyle f(x+{\textrm xikj67p}x)-f(x)}等于：

其中的線性主部：A=2x{\displaystyle A=2x}，高階無窮小是o(dx)=(dx)2{\displaystyle o({\textrm vhci3mc}x)=({\textrm il2v0o5}x)^{2}}。 因此函數(shù)f{\displaystyle \textstyle f}在點x{\displaystyle \textstyle x}處的微分是dy=2xdx{\displaystyle {\textrm jga7lll}y=2x{\textrm mykax6p}x}。函數(shù)的微分與自變量的微分之商dydx=2x=f′ ′ -->(x){\displaystyle {\frac {{\textrm kww7jzj}y}{{\textrm ch9zgyi}x}}=2x=f^{\prime }(x)}，等于函數(shù)的導數(shù)。

以下有一例子： 當方程式為y=2x2{\displaystyle y=2x^{2}}是，就會有以下的微分過程。

微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數(shù)u{\displaystyle u}、v{\displaystyle v}可微，那么：

d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv{\displaystyle d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv}

d(uv)=udv+vdu{\displaystyle d(uv)=udv+vdu}

d(uv)=vdu? ? -->udvv2{\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}}

若函數(shù)y(u){\displaystyle y(u)}可導，那么d[y(u)]=y′(u)du{\displaystyle d[y(u)]=y"(u)du}

極值

多元函數(shù)微分

當自變量是多元變量時，導數(shù)的概念已經(jīng)不適用了（盡管可以定義對某個分量的偏導數(shù)），但仍然有微分的概念。

定義

設f{\displaystyle f}是從歐幾里得空間R（或者任意一個內(nèi)積空間）中的一個開集Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }射到R的一個函數(shù)。對于Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }中的一點x{\displaystyle x}及其在Ω Ω -->{\displaystyle \Omega }中的鄰域Λ Λ -->{\displaystyle \Lambda }中的點x+h{\displaystyle x+h}。如果存在線性映射A{\displaystyle A}使得對任意這樣的x+h{\displaystyle x+h},

那么稱函數(shù)f{\displaystyle f}在點x{\displaystyle x}處可微。線性映射A{\displaystyle A}叫做f{\displaystyle f}在點x{\displaystyle x}處的微分，記作dfx{\displaystyle {\textrm ixmpyed}f_{x}}。

如果f{\displaystyle f}在點x{\displaystyle x}處可微，那么它在該點處一定連續(xù)，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數(shù)區(qū)別，多元函數(shù)的微分也叫做全微分或全導數(shù)。

當函數(shù)在某個區(qū)域的每一點x{\displaystyle x}都有微分dfx{\displaystyle {\textrm x0jrlal}f_{x}}時，可以考慮將x{\displaystyle x}映射到dfx{\displaystyle {\textrm vyiipy3}f_{x}}的函數(shù)：

這個函數(shù)一般稱為微分函數(shù)。

性質

如果f{\displaystyle f}是線性映射，那么它在任意一點的微分都等于自身。

在R（或定義了一組標準基的內(nèi)積空間）里，函數(shù)的全微分和偏導數(shù)間的關系可以通過雅可比矩陣刻畫：

具體來說，對于一個改變量：h=(h1,h2,… … -->,hn)=∑ ∑ -->i=1nhiei{\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}}，微分值：

可微的必要條件：如果函數(shù)f{\displaystyle f}在一點x0{\displaystyle x_{0}}處可微，那么雅克比矩陣的每一個元素? ? -->fi? ? -->xj(x0){\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}都存在，但反之不真。

可微的充分條件：如果函數(shù)f{\displaystyle f}在一點x0{\displaystyle x_{0}}的雅克比矩陣的每一個元素? ? -->fi? ? -->xj(x0){\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}都在x0{\displaystyle x_{0}}連續(xù)，那么函數(shù)在這點處可微，但反之不真。

例子

函數(shù)f:(x,y)? ? -->(x2+y2,(1? ? -->x2? ? -->y2)x? ? -->y,x? ? -->(1? ? -->x2? ? -->y2)y){\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)}是一個從R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}射到R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}的函數(shù)。它在某一點(x,y){\displaystyle (x,y)}的雅可比矩陣為：

微分為：df(x,y):h? ? -->Jf(x,y)(h){\displaystyle {\textrm qbt4d7h}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)}，也就是：

微分與微分形式

如果說微分是導數(shù)的一種推廣，那么微分形也就是說將一個向量v{\displaystyle v}射到它的第i{\displaystyle i}個分量vi{\displaystyle v^{i}}的映射。而dxi1∧ ∧ -->? ? -->∧ ∧ -->dxik{\displaystyle {\textrm 3xi3e62}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm ajwlzhs}x^{i_{k}}}是滿足：

的k-形式。

特別地，當f{\displaystyle f}是一個從R射到R 的函數(shù)時，可以將dfx{\displaystyle {\textrm yjlqg3a}f_{x}}寫作：

正是上面公式的一個特例。

參見

微積分

導數(shù)

積分

偏導數(shù)

外微分

泰勒公式

參考來源

齊民友. 《重溫微積分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 

Walter Rudin. 《數(shù)學分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8. 

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