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蒙特卡洛方法的基本思想

通常蒙特卡洛方法可以粗略地分成兩類：一類是所求解的問題本身具有內(nèi)在的隨機(jī)性，借助計算機(jī)的運(yùn)算能力可以直接模擬這種隨機(jī)的過程。例如在核物理研究中，分析中子在反應(yīng)堆中的傳輸過程。中子與原子核作用受到量子力學(xué)規(guī)律的制約，人們只能知道它們相互作用發(fā)生的概率，卻無法準(zhǔn)確獲得中子與原子核作用時的位置以及裂變產(chǎn)生的新中子的行進(jìn)速率和方向?？茖W(xué)家依據(jù)其概率進(jìn)行隨機(jī)抽樣得到裂變位置、速度和方向，這樣模擬大量中子的行為后，經(jīng)過統(tǒng)計就能獲得中子傳輸?shù)姆秶?，作為反?yīng)堆設(shè)計的依據(jù)。

另一種類型是所求解問題可以轉(zhuǎn)化為某種隨機(jī)分布的特征數(shù)，比如隨機(jī)事件出現(xiàn)的概率，或者隨機(jī)變量的期望值。通過隨機(jī)抽樣的方法，以隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率估計其概率，或者以抽樣的數(shù)字特征估算隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并將其作為問題的解。這種方法多用于求解復(fù)雜的多維積分問題。

假設(shè)我們要計算一個不規(guī)則圖形的面積，那么圖形的不規(guī)則程度和分析性計算（比如，積分）的復(fù)雜程度是成正比的。蒙特卡洛方法基于這樣的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均勻地朝這個圖形上撒，然后數(shù)這個圖形之中有多少顆豆子，這個豆子的數(shù)目就是圖形的面積。當(dāng)你的豆子越小，撒的越多的時候，結(jié)果就越精確。借助計算機(jī)程序可以生成大量均勻分布坐標(biāo)點(diǎn)，然后統(tǒng)計出圖形內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，通過它們占總點(diǎn)數(shù)的比例和坐標(biāo)點(diǎn)生成范圍的面積就可以求出圖形面積。

蒙特卡洛方法的工作過程

使用蒙特卡洛方法估算π值. 放置30000個隨機(jī)點(diǎn)后,π的估算值與真實值相差0.07%.

在解決實際問題的時候應(yīng)用蒙特卡洛方法主要有兩部分工作：

用蒙特卡洛方法模擬某一過程時，需要產(chǎn)生各種概率分布的隨機(jī)變量。

用統(tǒng)計方法把模型的數(shù)字特征估計出來，從而得到實際問題的數(shù)值解。

蒙特卡洛方法分子模擬計算的步驟

使用蒙特卡洛方法進(jìn)行分子模擬計算是按照以下步驟進(jìn)行的：

使用隨機(jī)數(shù)生成器產(chǎn)生一個隨機(jī)的分子構(gòu)型。

對此分子構(gòu)型的其中粒子坐標(biāo)做無規(guī)則的改變，產(chǎn)生一個新的分子構(gòu)型。

計算新的分子構(gòu)型的能量。

比較新的分子構(gòu)型于改變前的分子構(gòu)型的能量變化，判斷是否接受該構(gòu)型。

如此進(jìn)行迭代計算，直至最后搜索出低于所給能量條件的分子構(gòu)型結(jié)叢。

蒙特卡洛方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

通常蒙特卡洛方法通過構(gòu)造匹配一定規(guī)則的隨機(jī)數(shù)來解決數(shù)學(xué)上的各種問題。對于那些由于計算過于復(fù)雜而難以得到解析解或者根本沒有解析解的問題，蒙特卡洛方法是一種有效的求出數(shù)值解的方法。一般蒙特卡洛方法在數(shù)學(xué)中最常見的應(yīng)用就是蒙特卡洛積分。下面是蒙特卡羅方法的兩個簡單應(yīng)用：

積分

非權(quán)重蒙特卡洛積分，也稱確定性抽樣，是對被積函數(shù)變量區(qū)間進(jìn)行隨機(jī)均勻抽樣，然后對抽樣點(diǎn)的函數(shù)值求平均，從而可以得到函數(shù)積分的近似值。此種方法的正確性是基于概率論的中心極限定理。當(dāng)抽樣點(diǎn)數(shù)為m時，使用此種方法所得近似解的統(tǒng)計誤差只與m有關(guān)（與 1 m {\displaystyle {\begin{smallmatrix}{\frac {1}{\sqrt[{}]{m}}}\end{smallmatrix}}} 正相關(guān)），不隨積分維數(shù)的改變而改變。因此當(dāng)積分維度較高時，蒙特卡洛方法相對于其他數(shù)值解法更優(yōu)。

圓周率

蒙特卡洛方法可用于近似計算圓周率：讓計算機(jī)每次隨機(jī)生成兩個0到1之間的數(shù)，看以這兩個實數(shù)為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)是否在單位圓內(nèi)。生成一系列隨機(jī)點(diǎn)，統(tǒng)計單位圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)與總點(diǎn)數(shù)，（圓面積和正方形面積之比為PI:4，PI為圓周率），當(dāng)隨機(jī)點(diǎn)獲取越多時，其結(jié)果越接近于圓周率（然而準(zhǔn)確度仍有爭議：即使取10的9次方個隨機(jī)點(diǎn)時，其結(jié)果也僅在前4位與圓周率吻合）。用蒙特卡洛方法近似計算圓周率的先天不足是：第一，計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是受到存儲格式的限制的，是離散的，并不能產(chǎn)生連續(xù)的任意實數(shù)；上述做法將平面分區(qū)成一個個網(wǎng)格，在空間也不是連續(xù)的，由此計算出來的面積當(dāng)然與圓或多或少有差距。

參見

蒙特卡洛樹搜索

馬爾科夫蒙特卡洛

可視化

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