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不相交的線

已知在雙曲幾何上，至少有兩條直線滿足過P點平行直線R。接著在R上取一點B使得PB垂直R于B點，設(shè)在所有滿足過P點且不與R相交的直線中，存在一條直線x與PB的逆時針方向夾角比其他直線都來的小，即任何一條直線若與PB的逆時針夾角小于x與PB的逆時針夾角，則必與R相交，并定義x為R的漸近線。同理，若存在另一條直線y與PB的順時針方向夾角比其他直線都來的小，則y為R的另一條漸進線。并且，在所有滿足過P點且不與R相交的直線中，唯有x與y是R的漸近線，其余的則稱之為R的超平行線。由于滿足小于90°且大于x與PB的夾角θ的角度有無線多個，每個角度皆可引出兩條R的超平行線，因此R有無線多條超平行線。

因此，對于平面上一條直線R以及線外的一點P，恰能引出兩條直線過P且漸近于R，以及無限多條直線過P超平行于R。

此外，漸進線和超平行線的差別還有：不論往線的哪端延伸，兩條超平行線之間的距離皆會趨近于無限；但兩條件漸近之間的距離則會在一端趨近于零，在另一端趨近無限。從而，在雙曲幾何中有一定理超平行線定理：對于任兩條超平行線存在唯一一條線同時垂直于這兩條線。

對雙曲平面上的一條直線R，作線段BP垂直R于B點，且線段BP的長度等于一個給定的值p，則定義兩條R的過P點的漸近線與線段BP的夾角θ為p的漸近角（Angle of parallelism），通常記為Π（p）。因此有

于是，隨著線段長度的縮小，雙曲幾何的性質(zhì)會越來越像歐幾里得幾何。事實上，對任一個雙曲幾何定義一個定值K=高斯曲率，借由線段長度與1? ? -->K{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}}的比值，由此可知該平面的性質(zhì)與歐幾里得幾何的相似度。

三角形

在雙曲幾何中，線段長度的定義為兩點的最短距離除以R=1? ? -->K{\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}，K=高斯曲率，正如同在球面幾何中的長度為其圓心角弧度（最短距離除以曲率），有了長度的定義后，便可給出雙曲幾何中的勾股定理：若一直角三角形的兩股長分別為a和b，斜邊為c，則

在此，cosh指的是雙曲余弦函數(shù)。

在雙曲幾何中，許多雙曲三角學(xué)公式與歐幾里得幾何十分相像，大抵上雙曲幾何中的長度需帶入雙曲函數(shù)。例如雙曲幾何中的正弦定律為：

不同于歐幾里得幾何，雙曲幾何中三角形的內(nèi)角和必小于π(180°)，故稱其內(nèi)角和與π的差為該三角形的角虧，則該三角形的面積等于該三角形的角虧乘以 R2，而R=1? ? -->K{\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}}。故所有三角形的面積均小于等于πR2，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)該三角形為理想三角形。

圓與球

以下的圓或球半徑皆為 r ，并且 K 代表高斯曲率， R 代表 1? ? -->K{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}}

雙曲幾何中圓的周長為2π π -->Rsinh? ? -->rR{\displaystyle 2\pi R\sinh {\frac {r}{R}}\,}

因為sinh x的泰勒展開式為

于是，對所有實數(shù) x，sinhx>x{\displaystyle sinhx>x}，推得 sinh? ? -->rR>rR{\displaystyle \sinh {\frac {r}{R}}>{\frac {r}{R}}}

故圓的周長必大于 2π π -->r{\displaystyle 2\pi r}。

圓的面積則是 2π π -->R2(cosh? ? -->rR? ? -->1){\displaystyle 2\pi R^{2}(\cosh {\frac {r}{R}}-1)}。

球的表面積為 4π π -->R2sinh2? ? -->rR{\displaystyle 4\pi R^{2}\sinh ^{2}{\frac {r}{R}}} ，必大于歐幾里得幾何的 4π π -->r2{\displaystyle 4\pi r^{2}}

球的體積為 π π -->R3sinh? ? -->2rR? ? -->2π π -->R2r{\displaystyle \pi R^{3}\sinh {\frac {2r}{R}}-2\pi R^{2}r}

在n度空間中，定義 Ω_n 是n維立體角，滿足 Ω Ω -->n=2π π -->n/2Γ Γ -->(n2){\displaystyle \Omega _{n}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}}

在此，Γ(n)是Γ函數(shù)。

則n-1維球面(在n度空間中)的測度是 Ω Ω -->nRn? ? -->inhn? ? -->1? ? -->rR{\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\sinh ^{n-1}{\frac {r}{R}}}

n維球(在n度空間中)的測度則是 Ω Ω -->nRn? ? -->1∫ ∫ -->0rsinhn? ? -->1? ? -->sRds{\displaystyle \Omega _{n}R^{n-1}\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}{\frac {s}{R}}ds}

羅式幾何

此圖為一三角形于一雙曲拋物面上，另外右下方有兩條在歐式幾何中應(yīng)平行的分流線。

羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式一對分散直線在其唯一公垂線兩側(cè)無限遠離幾何平行公理用“從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。

凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，在羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明：

歐式幾何：

羅式幾何

從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和大眾所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有像歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過研究，提出可以用大眾習(xí)慣的歐式幾何中的事實作一個直觀“模型”來解釋羅式幾何，便是正確的。

1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

參見

歐式幾何

非歐幾何

黎曼幾何

球面幾何

參考資料

/~rkenyon/papers/cannon.pdf

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