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嚴(yán)格定義

設(shè)A為一個(gè) m×n 的矩陣，k為一個(gè)介于1和m之間的整數(shù)，并且k≤n。A的一個(gè)k階子式是在A中選取k行k列之后所產(chǎn)生的k個(gè)交點(diǎn)組成的方塊矩陣的行列式。

A的一個(gè)k階余子式是A去掉了k行與k列之后得到的(m-k)×(n-k)矩陣的行列式。

由于一共有(mk){\displaystyle {m \choose k}}種方法來選擇該保留的行，有(nk){\displaystyle {n \choose k}}種方法來選擇該保留的列，因此A的k階余子式一共有(mk)? ? -->(nk){\displaystyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}個(gè)。

如果m=n，那么A關(guān)于一個(gè)k階子式的余子式，是A去掉了這個(gè)k階子式所在的行與列之后得到的(n-k)×(n-k)矩陣的行列式，簡稱為A的k階余子式。

n×n的方塊矩陣A關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指A中去掉第i行第j列后得到的n?1階子矩陣的行列式。有時(shí)可以簡稱為A的（i，j）余子式。

代數(shù)余子式和伴隨矩陣

一個(gè)矩陣A的(i, j)代數(shù)余子式：Cij 是指A的(i, j)余子式Mij與(?1)的乘積：

A的余子矩陣是指將A的(i, j)代數(shù)余子式擺在第i行第j列所得到的矩陣，記為C。

C的轉(zhuǎn)置矩陣稱為A的伴隨矩陣，伴隨矩陣類似于逆矩陣，并且當(dāng)A可逆時(shí)可以用來計(jì)算它的逆矩陣。

例子

對矩陣

要計(jì)算代數(shù)余子式C23。首先計(jì)算余子式M23，也就是原矩陣去掉第2行和第3列后的子矩陣的行列式：

因此，C23等于(-1)M23=? ? -->13{\displaystyle =-13}

應(yīng)用

余子式和代數(shù)余子式最常在拉普拉斯展開現(xiàn)，用于將矩陣的行列式展成若干個(gè)小一階的行列式之和。

給定一個(gè)m×n的實(shí)系數(shù)矩陣，設(shè)它的秩為r那么至少存在一個(gè)r階的非零子式，同時(shí)所有大于r階的 子式必然都是0。

設(shè)A是一個(gè)m×n的矩陣，I是集合{1,...,m}的一個(gè)k元子集，J是集合{1,...,n}的一個(gè)k元子集，那么[A]I,J表示A的k階子式。其中抽取的k行的行標(biāo)是I中所有元素，k列的列標(biāo)是J中所有元素。

如果I=J，那么稱[A]I,J是A的主子式。

如果I=J={1,...,k}（所取的是左起前k列和上起前k行），那么相應(yīng)的主子式被稱為順序主子式。一個(gè)n×n的方塊矩陣有n個(gè)順序主子式。

對于埃爾米特矩陣，順序主子式的符號被用來判定矩陣的正定性。

常見的矩陣乘法和柯西-比內(nèi)公式都是以下計(jì)算子式乘積公式的特例： 設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，B是一個(gè)n×p矩陣，I是集合{1,...,m}的一個(gè)k元子集，J是集合{1,...,p}的一個(gè)k元子集，那么

其中子集K 取遍{1,...,n} 的所有k元子集。這個(gè)公式是柯西-比內(nèi)公式的推論。

多線性代數(shù)

子式的一個(gè)更為對稱和代數(shù)化的定義可以通過多線性代數(shù)中的外積給出：k階子式是k階外冪的系數(shù)。

如果將矩陣的k列看做k個(gè)向量并在一起，那么它的k階子式就是k階外冪映射到的k-向量中的系數(shù)。比如說，以下矩陣：

的2階子式是?13、?7和5?，F(xiàn)在考慮外積

其中的兩個(gè)向量對應(yīng)著矩陣的2個(gè)列。注意外積的性質(zhì)：

以及

我們得到其外積為：

其中的系數(shù)正好是三個(gè)2階子式的值。

參見

行列式

余因子矩陣

拉普拉斯展開

參考來源

拉普拉斯定理

行列式

藍(lán)以中，高等代數(shù)簡明教程（下冊），北京大學(xué)出版社

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