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等加速度的方程式

我們可以借由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那么我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。再來為了找出合力（∑ ∑ -->F{\displaystyle \sum F}），必須先找出個別影響兩物體的力。

m1的力: T? ? -->m1g{\displaystyle \;T-m_{1}g}

m2的力: m2g? ? -->T{\displaystyle \;m_{2}g-T}

∑ ∑ -->F=(m2g? ? -->T)+(T? ? -->m1g)=g(m2? ? -->m1){\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}

利用牛頓第二定律，我們可以得到整個系統(tǒng)的等加速度方程式。

∑ ∑ -->F=ma{\displaystyle \sum F=ma}

a=∑ ∑ -->Fm{\displaystyle a={\sum F \over m}}

∑ ∑ -->F=g(m2? ? -->m1){\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}

m=(m1+m2){\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}

a=gm2? ? -->m1m1+m2{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}

阿特伍德機(jī)有時候也被用來說明拉格朗日力學(xué)中獲得的運動方程式。

張力的方程式

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

a=gm2? ? -->m1m1+m2{\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}

例如代入m1a=T? ? -->m1g{\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}，我們得到

T=g2m1m2m1+m2{\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}

借由同樣的方法，張力也可以從m2a=m2g? ? -->T{\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}中求得。

非理想的滑輪

若m1與m2之間的重量差距很小時，滑輪的半徑（r）造成的轉(zhuǎn)動慣量（I）則不可以被忽略。

滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

α α -->=ar{\displaystyle \alpha ={a \over r}}

在此情況下，系統(tǒng)的總力矩為：

τ τ -->Total=(T2? ? -->T1)r=Iα α -->+τ τ -->friction{\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r=I\alpha +\tau _{friction}}

參考

^漆安慎、杜嬋英. 《力學(xué)》（第二版）. 高等教育出版社. 2005: 76頁. ISBN 978-7-04-016624-8. 

^Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.

^Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.

"Atwood"s Machine" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.

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