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定義

曼德博集合可以用復(fù)二次多項(xiàng)式來(lái)定義：

其中 c {\displaystyle c} 是一個(gè)復(fù)數(shù)參數(shù)。

從 z = 0 {\displaystyle z=0} 開始對(duì) f c ( z ) {\displaystyle f_{c}(z)} 進(jìn)行迭代：

每次迭代的值依序如以下序列所示：

( 0 , f c ( 0 ) , f c ( f c ( 0 ) ) , f c ( f c ( f c ( 0 ) ) ) , … … --> ) {\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}

不同的參數(shù) c {\displaystyle c} 可能使序列的絕對(duì)值逐漸發(fā)散到無(wú)限大，也可能收斂在有限的區(qū)域內(nèi)。

曼德博集合 M {\displaystyle M} 就是使序列不延伸至無(wú)限大的所有復(fù)數(shù) c {\displaystyle c} 的集合。

特性

自相似

面積為 1.506 591 856 1

相關(guān)的定理

定理一

若 | c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}} ，則 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}}

證明：

假設(shè) | c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}} 為真

則 | z 1 | = | c | ≤ ≤ --> 1 4 < 1 2 {\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}

第一步：

當(dāng) n = 2 {\displaystyle n=2\,} 時(shí)

因?yàn)?| c | ≤ ≤ --> 1 4 {\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}

由以上可得知 | z 2 | < 1 2 {\displaystyle |z_{2}|

第二步：

假設(shè) | z n | < 1 2 {\displaystyle |z_{n}| 成立

由上式可得知 | z n + 1 | < 1 2 {\displaystyle |z_{n+1}|

由數(shù)學(xué)歸納法可得知對(duì)于所有的n(n=1,2,...)， | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 皆比 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,} 小。

當(dāng)n趨近無(wú)限大時(shí) | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 依然沒有發(fā)散，所以 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，故得證。

定理二

若 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，則 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq {2}}

證明：

假設(shè) | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,}

則 | z 1 | = | c | , | z 1 | > 2 {\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}

第一步：

當(dāng) n = 2 {\displaystyle n=2\,} 時(shí)

由 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} ，左右同乘 | c | {\displaystyle |c|\,} 再減去 | c | {\displaystyle |c|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z 2 | > | c | {\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}

第二步：

假設(shè) | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,} 成立，則 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,}

因?yàn)?| z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}

由 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，左右同乘 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 再減去 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z n + 1 | > | z n | {\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}

由數(shù)學(xué)歸納法可得知 2 < | z 1 | < | z 2 | < . . . < | z n | < | z n + 1 | < | z n + 2 | {\displaystyle 2 ，可看出隨著迭代次數(shù)增加 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 逐漸遞增并發(fā)散。

假如 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 不發(fā)散，則收斂于某個(gè)常數(shù) a > | c | > 2 {\displaystyle a>|c|>2} ,

由 | z n + 1 | ≥ ≥ --> | z n | 2 ? ? --> | c | {\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|} 再取極限得 a ≥ ≥ --> a 2 ? ? --> | c | {\displaystyle a\geq a^{2}-|c|} 即 a 2 ? ? --> a ≤ ≤ --> | c | {\displaystyle a^{2}-a\leq |c|} 。

又 a 2 ? ? --> a = a ( a ? ? --> 1 ) ≥ ≥ --> a > | c | {\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|} ，矛盾，故 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 發(fā)散。

所以若 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} ，則 c ? ? --> M {\displaystyle c\notin {M}} ，故得證。

定理三

若 c ∈ ∈ --> M {\displaystyle c\in {M}} ，則 | z n | ≤ ≤ --> 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}

證明：

要證明若 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} ，則 c ? ? --> M {\displaystyle c\notin {M}}

首先分別探討 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} 與 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 兩種情形

由定理二可知道 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} 且 | c | > 2 {\displaystyle |c|>2\,} 時(shí)， c ? ? --> M {\displaystyle c\notin {M}} 。

接著要證明 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 時(shí)的情況：

假設(shè) | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，因?yàn)?| c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} ，所以 | z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,} ，而

因?yàn)?| z n | > | c | {\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}

由 | z n | > 2 {\displaystyle |z_{n}|>2\,} ，左右同乘 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 再減去 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 可得到下式

由以上可得知 | z n + 1 | > | z n | {\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}

由數(shù)學(xué)歸納法可得知 2 < | z n | < | z n + 1 | < | z n + 2 | < . . . {\displaystyle 2 ，可看出隨著迭代次數(shù)增加 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 逐漸遞增并發(fā)散。

所以在 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} 且 | c | ≤ ≤ --> 2 {\displaystyle |c|\leq 2} 的情況下也是 c ? ? --> M {\displaystyle c\notin {M}} 。

綜合上述可得知不論 | c | {\displaystyle |c|\,} 為多少

若 | z n | > 2 , ( n = 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,} ，則 c ? ? --> M {\displaystyle c\notin {M}} ，故得證。

利用定理三可以在程式計(jì)算時(shí)快速地判斷 | z n | {\displaystyle |z_{n}|\,} 是否會(huì)發(fā)散。

計(jì)算的方法

曼德博集合一般用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算。對(duì)于大多數(shù)的分形軟件，例如Ultra fractal，內(nèi)部已經(jīng)有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼，表達(dá)了曼德博集合的計(jì)算思路。

ForEachcinComplexrepeats=0z=0Doz=z^2+crepeats=repeats+1Loopuntilabs(z)>EscapeRadiusorrepeats>MaxRepeats"根據(jù)定理三，EscapeRadius可設(shè)置為2。Ifrepeats>MaxRepeatsThenDrawc,Black"如果迭代次數(shù)超過(guò)MaxRepeats，就將c認(rèn)定為屬于曼德博集合，并設(shè)置為黑色。ElseDrawc,color(z,c,repeats)"colo函數(shù)用來(lái)決定顏色。EndIfNext

決定顏色的一些方法

直接利用循環(huán)終止時(shí)的Repeats

綜合利用z和Repeats

Orbit Traps

Mathematica代碼

mand=Compile[{{z0,_Complex},{nmax,_Integer}},Module[{z=z0,i=1},While[i<nmax&&Abs[z]<=2,z=z^2+z0;i++];i]];ArrayPlot[Reverse@Transpose@Table[mand[x+yI,500],{x,-2,2,0.01},{y,-2,2,0.01}]]

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