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來(lái)源

人類算數(shù)采用十進(jìn)制，可能跟人類有十根手指有關(guān)。亞里士多德稱人類普遍使用十進(jìn)制，只不過(guò)是絕大多數(shù)人生來(lái)就有10根手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果。實(shí)際上，在古代世界獨(dú)立開發(fā)的有文字的記數(shù)體系中，除了巴比倫文明的楔形數(shù)字為60進(jìn)制，瑪雅數(shù)字為20進(jìn)制外，幾乎全部為十進(jìn)制。只不過(guò)，這些十進(jìn)制記數(shù)體系并不是按位的。

方法

用文字表示十進(jìn)整數(shù)位

十進(jìn)位制可以表示任何整數(shù)。利用小數(shù)點(diǎn)，還可以表示一些小數(shù)。

用文字表示十進(jìn)小數(shù)位

注：

厘 亦作 釐 。

毫 亦作 毛 。

漠 是正寫，而 莫 并非正確寫法。

比 漠 微細(xì)的，是自天竺佛經(jīng)上的數(shù)字。而這些“佛經(jīng)數(shù)字”已成為古代用法了。

歷史沿革

甲骨文十進(jìn)數(shù)字

有學(xué)者認(rèn)為，北京周口店的一萬(wàn)多年前的山頂洞人遺址出土的骨管，以一個(gè)圓點(diǎn)代表1，兩個(gè)圓點(diǎn)并列代表2，三個(gè)圓點(diǎn)并列代表3，五個(gè)圓點(diǎn)上二下三排列代表5，長(zhǎng)圓形可能代表十。中國(guó)著名數(shù)學(xué)史家，國(guó)際科學(xué)史研究院通訊院士李迪教授認(rèn)為山頂洞人骨管符號(hào)是“一種十進(jìn)制思想” 。

另有學(xué)者對(duì)中國(guó)青海樂(lè)都縣柳灣出土一千多枚新石器時(shí)代骨片進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)它們分屬馬廠、半山、齊家和辛店四個(gè)中文化型。骨片長(zhǎng)度為2-2.4厘米，厚約1毫米。骨片上有刻痕，少的一個(gè)，多不超過(guò)八個(gè)，每個(gè)骨片上的刻痕數(shù)目不超過(guò)十個(gè)，他們以此認(rèn)為新石器時(shí)代已有加法運(yùn)算和十進(jìn)制 。

另有學(xué)者認(rèn)為，甲骨文中一橫代表1，兩橫相疊代表二，三橫代表三，四橫代表四，X 代表五，“人”形代表六，“十”代表七，“）（”代表八， “九”已經(jīng)是九；| 代表十，||代表20，|||代表三十，||||代表四十；此外50，60，70，80，90，100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000，2000，……9000，10000……40000 都有不同的符號(hào)。商代甲骨文“已形成完整的十進(jìn)制系統(tǒng)”。

北京的中國(guó)歷史博物館藏有一把安陽(yáng)殷墟出土的象牙尺，長(zhǎng)15.78厘米，分為十寸，說(shuō)明中國(guó)商代的十進(jìn)制幾經(jīng)用在長(zhǎng)度上了。

中國(guó)周代金文的紀(jì)數(shù)法，繼承商代的十進(jìn)制， 又有明顯的進(jìn)步，十進(jìn)數(shù)量級(jí)符號(hào)有十、百、千、萬(wàn)、億，如西周金文“伐鬼方……俘萬(wàn)三千八十一人”，“武王遂征四方，俘人三億萬(wàn)有二百三十”，出現(xiàn)了位值記數(shù)，例如 “俘牛三百五十五“，其中三百五十五寫成“三全XX”，前面的“全”是金文的“百”，后面兩個(gè)XX是五十五，省去了“十”，出現(xiàn)了位置概念，但尚未形成完整的位值制。金文商鞅量銘還出現(xiàn)分?jǐn)?shù)。

春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)，以空代表0，也發(fā)明了用于十進(jìn)位制乘法、除法的九九表和《算表》。

公元前3400年左右，古埃及有基于十進(jìn)制的記數(shù)法。 但這種十進(jìn)制并無(wú)位值的概念。

吠陀時(shí)代前800年的印度儀軌經(jīng)類文獻(xiàn)中的繩法經(jīng)中包含大量分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，但并無(wú)證據(jù)顯示此時(shí)的文字記數(shù)系統(tǒng)是十進(jìn)制的。

公元前500年，希臘古典時(shí)期的阿提卡數(shù)字為十進(jìn)制系統(tǒng)。

公元前300年，印度的婆羅迷數(shù)字為十進(jìn)制。 婆羅迷十進(jìn)制毫無(wú)位值概念。

出土于巴基斯坦的古印度巴克沙利手稿可能是世界上最早的包括0的“真正的”十進(jìn)制系統(tǒng)， 但它的具體時(shí)間有爭(zhēng)議。

起源

籌算加法

伊本·拉班加法

公元400年的孫子除法 6561/9

公元825年花拉子米除法，和孫子除法雷同

10世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家伊本· 拉班的除法，也源自孫子除法

籌算開方術(shù)

伊本拉班開方與籌算開方類同

一般“共識(shí)”認(rèn)為現(xiàn)在世界通行的十進(jìn)制起源于印度。從20世紀(jì)初，國(guó)際上許多學(xué)者，包括李約瑟在內(nèi)對(duì)印度起源論提出了質(zhì)疑。

早在1907年印度學(xué)者Kaye指出“我研究的目的，在于指出我們關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)記數(shù)的基礎(chǔ)很不牢固，值得重新研究。從印度文字，碑文證據(jù)，早期印度日的記數(shù)法，以及現(xiàn)代印度土著的風(fēng)俗習(xí)慣等方面，指明現(xiàn)代記數(shù)可能來(lái)自外國(guó)

印度學(xué)者Datta and Singh認(rèn)為，“印度不存在記述這些數(shù)字及其基本算術(shù)運(yùn)算方法的早期文獻(xiàn)，發(fā)明人不可知”

德國(guó)學(xué)者M(jìn)enninger 認(rèn)為印度十進(jìn)制的起源，模糊不清。

李約瑟指出，古印度的數(shù)字系統(tǒng)，用單獨(dú)的符號(hào)表示10和10的倍數(shù)，相對(duì)于希臘或希伯來(lái)數(shù)字系統(tǒng)，毫無(wú)進(jìn)步……印度數(shù)字中的0，很可能起源于東印度和中國(guó)南方文化接壤的地區(qū)。印度是否采納中國(guó)算籌的空檔而受啟發(fā)？關(guān)鍵在于中國(guó)在比孫子算經(jīng)早很多的時(shí)期，已經(jīng)擁有十進(jìn)位值制。

曾任小學(xué)教師的法國(guó)通俗作家Ifrah斷言，458年的印度耆那教文獻(xiàn) Lokavibhaga 中的 panchabhyah khalu shunyebhyah param dve sapta chambaram ekam trini cha rupam cha 代表“五空和二和七和天，一和三和形，就是13107200000”，“是世界上最早的帶零的十進(jìn)位數(shù)字”。 。他還說(shuō)，印度的零、一、二、……九的詞多了，有eka，pitamaha,adi,tanu……都指“一”，dvi,ashvin,Yama, yamala, netra,bahu,guophau, paksha 都可以是“二”…… 。有學(xué)者認(rèn)為現(xiàn)在世界各國(guó)使用的阿拉伯?dāng)?shù)字都起源于這一系統(tǒng)。

美國(guó)學(xué)者Robert Temple根據(jù)李約瑟《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》縮寫的“Genius of China”，認(rèn)為今日世界通行的十進(jìn)制，真正起源地在中國(guó) 。

新加坡著名數(shù)學(xué)史家蘭麗蓉認(rèn)為阿拉伯?dāng)?shù)字的基本概念，不可能起源于印度婆羅迷數(shù)字，而是起源于中國(guó)籌算?；I算用九個(gè)符號(hào)代表一切數(shù)，其加法減法，天然包含在算籌之中，三減三就是從算版上取去三個(gè)算籌，算版上自然而然留下一個(gè)空位，這就是零，籌算中稱為‘空’。無(wú)獨(dú)有偶，印度在沒(méi)有發(fā)明‘0’這個(gè)符號(hào)之前，和中國(guó)的籌算一摸一樣，也用一格空檔來(lái)表示零，稱為“sunya”！，這就沒(méi)有天然的理由了；而“983 542”到底是一個(gè)數(shù)字還是兩個(gè)數(shù)值，容易產(chǎn)生混淆，后來(lái)印度才用“.”或“0”代表sunya。此外印度的加減乘除運(yùn)算程序，上、中、下三行排列的方式，除數(shù)和被除數(shù)首位對(duì)齊，留籌算式的空白（?。┒恰?”，從左往右計(jì)算的規(guī)則，商數(shù)右邊留空白而沒(méi)有補(bǔ)“0”，每算一步之后，除數(shù)右移一位，甚至余數(shù)表示為分?jǐn)?shù)的上、中、下三行表示方法，居然和孫子算經(jīng)中敘述的孫子除法雷同，這三點(diǎn)是印度十進(jìn)位數(shù)字系統(tǒng)的基礎(chǔ)概念全盤來(lái)自籌算的鐵證。 。

現(xiàn)存最古老的運(yùn)用印度數(shù)字的算術(shù)著作：10世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家伊本·拉班在所著《印度算術(shù)原理》中詳細(xì)敘述的印度除法，印度開平方術(shù)，開立方術(shù)也同樣源自孫子算經(jīng)

0……9符號(hào)來(lái)自印度，但背后的十進(jìn)位制概念，則來(lái)自籌算。將空寫成0，只是書寫方式，沒(méi)有概念上的發(fā)明。至于中國(guó)籌算十進(jìn)制如何傳入印度，蘭麗蓉認(rèn)為中國(guó)古時(shí)官員，商人僧侶和旅行家，腰掛算籌袋很平常，而中國(guó)和印度來(lái)往密切，傳入印度不難理解。事實(shí)上早于458年一個(gè)半世紀(jì)，從公元266-399年間，就有竺法護(hù)，康法郎，于法藍(lán)，竺佛念，慧常，進(jìn)行，慧辯，支法領(lǐng)，法凈等高僧到過(guò)印度了，此后還有著名的法顯到過(guò)佛國(guó)。

印度與阿拉伯的十進(jìn)位制

七世紀(jì)之前，印度數(shù)字用一到九個(gè)符號(hào)，以空代零。 。時(shí)至今日，南印度泰米爾納德邦仍通行九個(gè)符號(hào)加空代零，另有十、百、千符號(hào) 。

公元七世紀(jì)，印度Nagari數(shù)字出現(xiàn)0。

公元八世紀(jì)唐朝太史監(jiān)印度人瞿曇悉達(dá)在開元年間主持編纂的《開元占經(jīng)》卷104將印度數(shù)字“·”（零）引入中國(guó)，“右天竺算法用上件九個(gè)字乘除，其字皆一舉扎而成，凡數(shù)至十進(jìn)入前位，每空位處恒安一點(diǎn)”，但只有文字?jǐn)⑹觯丛嫵鲇《葦?shù)嗎的形狀。

學(xué)界公認(rèn)，印度帶“0”的十進(jìn)位制最早出現(xiàn)在876年印度瓜廖爾Bhojadera碑文，“933”年印度歷(公元876年)碑文文記述一塊“270” 乘 “187” 的花園，每日給廟奉獻(xiàn)“50”個(gè)花圈。 “933”、“270”、“187”、“50”四個(gè)印度數(shù)字，已經(jīng)是現(xiàn)代阿拉伯?dāng)?shù)字了。

印度本土用印度數(shù)字的算術(shù)著作已蕩然無(wú)存，但保留在多種阿拉伯文著作中。存世最古老的一本用印度數(shù)字的算術(shù)書，當(dāng)推十世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家伊本·拉班所著的《印度算術(shù)原理》，他在該書第一章詳細(xì)敘述印度十進(jìn)位制數(shù)字的原理。他寫道“必須認(rèn)識(shí)九個(gè)數(shù)字?????????，第一個(gè)是一，第二個(gè)是二，一直到九，并且頭一個(gè)是個(gè)位，第二個(gè)是十位，第三百位，第四千位，第五萬(wàn)……十之后必須加一個(gè)零，一百之后必須加兩個(gè)零，即記十為10，百為100。

九世紀(jì)花拉子米，十世紀(jì)伊本·拉班，十一世紀(jì)烏克里迪西等阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家都著有關(guān)于印度算術(shù)的著作，所述的加、減、乘、除、開平方、開立方的程序，從排列方式，留空方式，數(shù)字位移方式，以至余數(shù)、分?jǐn)?shù)的表示格式，都和中國(guó)公元一世紀(jì)的九章算術(shù)、5世紀(jì)孫子算經(jīng)所述的相應(yīng)算術(shù)運(yùn)算相同。中世紀(jì)的印度-阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家用沙盤進(jìn)行計(jì)算.沙盤可以是帶沙子的地面或一塊木板，上鋪一層薄沙，劃上格子，用手指頭或一根棍將阿拉伯?dāng)?shù)字劃在格子里面。因?yàn)橛懈褡樱钥崭窬痛砹?，不必寫?” ，這和中國(guó)籌算以空代零的習(xí)慣一樣 。

印度文數(shù)字的0，1，2……9中的“0”，是印度數(shù)學(xué)對(duì)十進(jìn)位制的重要貢獻(xiàn)，它克服了算籌數(shù)碼空檔的缺點(diǎn)，例如 可以指6，600，60000……使十進(jìn)位制草算在中世紀(jì)阿拉伯國(guó)家大為流行。

中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在算籌碼中引入圓圈 可能受到印度“0”的影響。

十進(jìn)制與度量衡

中國(guó)十進(jìn)制度量衡有久遠(yuǎn)的歷史。公元前6世紀(jì)的一把周朝尺刻有十分之一的寸和百分之一的分。

王莽官定一百副青銅容量標(biāo)準(zhǔn)，一斛=十斗，一斗=十升，一升=10合。

傳統(tǒng)度量衡不是完全使用十進(jìn)制，例如1斤等于16兩、1呎等于12吋等。公制完全使用十進(jìn)制，使換算較直接。

清華簡(jiǎn)算表

成于公元前305年左右的清華簡(jiǎn)《算表》是世界上最早的十進(jìn)制乘法表, 。

中國(guó)數(shù)學(xué)史學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)郭書春高度評(píng)價(jià)《算表》：

。

美國(guó)數(shù)學(xué)史家約瑟夫·道本周（Joseph Dauben)說(shuō)《算表》是世界上最早的十進(jìn)制乘法表文物 。

戰(zhàn)國(guó)時(shí)代（公元前305年）《算表》示意圖

參見

十進(jìn)位制

國(guó)際單位制詞頭

中文數(shù)字

華嚴(yán)大數(shù)

十進(jìn)時(shí)

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