亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

定義

集合 X 上的度量為一函數(shù)(稱之為“距離函數(shù)”或簡稱為“距離”)

這里的 R 是實數(shù)的集合，且對于所有 X 內(nèi)的 x、y、z，均滿足如下條件:

d(x, y) ≥ 0 (非負(fù)性，或稱分離公理)

d(x, y) = 0 當(dāng)且僅當(dāng) x = y (同時公理)

d(x, y) = d(y, x) (對稱性)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (次加性/三角不等式)。

條件1與條件2為正定函數(shù)的定義。條件1可由其他條件推導(dǎo)而出。

上述條件反應(yīng)了對距離這個概念的直觀想法。例如，不同點間之距離為正值，且從 x 至 y 的距離會等于從 y 至 x 的距離。三角不等式則意指從 x 經(jīng)過 y 至 z 的距離至少會大于直接從 x 至 z 的距離。歐幾里得在其著作中表示，兩個點之間的最短距離為直線；這即是其幾何學(xué)內(nèi)之三角不等式。

上面的條件也可只保留條件2，再加上一個新的三角不等式條件：

條件1可直接由條件4*導(dǎo)出。使用條件2與條件4*可導(dǎo)出條件3，并因而給出條件4。

一度量被稱為超度量，若該度量滿足更強(qiáng)之三角不等式，每個點都不能落于其他點“之間”：

X 上的度量 d 叫做內(nèi)在度量，如果 X 中的任兩個點 x 和 y 可以被其長度任意接近于 d(x, y) 的曲線連接起來。

對于定義了加法 + : X × X → X 的集合，d 叫做平移不變度量，如果

，對于所有 X 中的 x、y 和 a。

例子

離散度量: 如果 x = y 則 d(x,y) = 0，否則 d(x,y) = 1。

歐幾里得度量是平移和旋轉(zhuǎn)不變的。

曼哈頓度量是平移不變的。

更一般的，任何由范數(shù)(見后)引發(fā)的度量是平移不變的。

如果 (pn)n∈N 是定義(局部凸)拓?fù)湎蛄靠臻gE 的半范數(shù)序列，則

圖度量，依特定圖內(nèi)的距離定義出之度量。

編碼理論里的漢明距離。

黎曼度量，一種適合用于任一微分流形上的度量。對任一此類流形，可在每個點 p 上選定一個對稱、正定的雙線性形式L: Tp × Tp → ?，其中 Tp 為 p 上的切空間。因此，每個在此流形上的切向量 v 的長度即定義為 ||v|| = √L(v, v)。對于每個在此流形上的可微路徑，其長度則定義為切向量之長度對路徑上每個點的積分，其中其積分可透過路徑參數(shù)計算之。最后，為得到定義于流形上每對點 {x, y} 上的度量，可取從 x 至 y 的所有路徑間，其路徑長度之最小值。具有黎曼度量之光滑流形稱之為黎曼流形。

復(fù)投影空間上的富比尼–施圖迪度量，為黎曼度量的一個例子。

度量的等價性

對于一個給定集合 X，兩個度量 d1 和 d2 被稱為拓?fù)涞葍r的 (一致等價的)如果恒等映射

是同胚(一致同構(gòu))。

例如，如果 d{\displaystyle d} 是度量，則 min(d,1){\displaystyle \min(d,1)} 和 d1+d{\displaystyle {d \over 1+d}} 是等價于 d{\displaystyle d} 的度量。

參見度量空間的等價性。

向量空間上的度量

向量空間上的范數(shù)均等價于某個度量，且會是均勻與平移不變的。換句話說，每個范數(shù)都能決定一個度量，而某個度量能決定一個范數(shù)。

給定一個賦范向量空間(X,||.||) ，可定義 X 上的度量為

度量 d 被稱為由范數(shù) ||.|| 所導(dǎo)出。

反過來如果在向量空間X 上的度量 d 滿足下列性質(zhì)

d(x,y) = d(x+a,y+a) (平移不變性)

d(αx,αy) = |α|d(x,y) (均勻性)

則可定義 X 上的范數(shù)為

類似的，半范數(shù)能導(dǎo)出偽度量(見后)，均勻(homogeneous)平移不變偽度量能導(dǎo)出半范數(shù)。

多重集上的度量

可將度量的概念由兩個元素間之距離推廣成非空有限多重集內(nèi)元素之距離。多重集是集合概念的推廣，使得同一元素能出現(xiàn)多次。定義 Z=XY 為由多重集 X 與 Y 內(nèi)元素所組成之多重集，亦即若 x 在 X 內(nèi)出現(xiàn)一次，在 Y 內(nèi)亦出現(xiàn)一次，則會在 Z 內(nèi)出現(xiàn)兩次。在非空有限多重集上的距離函數(shù) d 是個度量，若

d(X) = 0，若 X 內(nèi)所有元素均相等，不然 d(X) > 0。（正定性）

d(X) 在 X 的所有置換下不變。（對稱性）

d(XY)≤ ≤ -->d(XZ)+d(ZY){\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}。（三角不等式）

須注意，最熟悉的兩個元素間之度量僅出現(xiàn)在條件 1 與條件 2 內(nèi)的多重集 X 有兩個元素，以及條件 3 內(nèi)的多重集有一個元素的情形下。例如，若 X 由兩個 x 所組成，則依據(jù)條件 1，d(X)=0。

一個簡單的例子為由元素為整數(shù)之非空有限多重集 X 所組成之集合，具有度量 d(X)=max{x:x∈ ∈ -->X}? ? -->min{x:x∈ ∈ -->X}{\displaystyle d(X)=\max\{x:x\in X\}-\min\{x:x\in X\}}。較復(fù)雜的例子則有資訊距離與歸一化壓縮距離。

推廣度量

有許多放寬度量公理的方法，能給出較度量空間更為廣義的不同概念。用來描述這些推廣的詞匯并沒有統(tǒng)一，例如在泛函分析里的偽度量通?？捎上蛄靠臻g上的半范數(shù)導(dǎo)出，因此會很自然地稱之為“半度量”。在拓?fù)鋵W(xué)里，名詞使用間的相互沖充時常出現(xiàn)。

擴(kuò)展度量

一些作者允許距離函數(shù) d 達(dá)到無限大值，亦即距離是在擴(kuò)展實數(shù)線上的非負(fù)數(shù)。此一函數(shù)稱之為擴(kuò)展度量，或“∞-度量”。每個擴(kuò)展度量均可換變成有限度量，使得度量空間在考量拓?fù)渖现拍睿ㄈ邕B續(xù)性或收斂性）時會等價。此一有限度量可使用一個在零時值為零的次可加單調(diào)遞增有界函數(shù)，如 d′(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) or d′′(x, y) = min(1, d(x, y))。

度量的取值可由正實數(shù) [0,∞) 推廣至其他任一有向集合。在此一情形下，公理的重構(gòu)會建構(gòu)出一致空間：具有能比較不同點之局部拓?fù)涞拇鷶?shù)結(jié)構(gòu)之拓?fù)淇臻g。

偽度量

X 上的偽度量是個函數(shù) d : X × X → R，滿足度量的公理，除了條件 2 不一定只在相同元素時才為 0。換句話說，偽度量的公理為：

d(x, y) ≥ 0

d(x, x) = 0（但對于不同的值 x≠ ≠ -->y{\displaystyle x\neq y}，也可能會出現(xiàn) d(x, y)=0。）

d(x, y) = d(y, x)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

在某些情形下，偽度量因其與半范數(shù)間的關(guān)系，會被稱為半度量。

擬度量

有時，會定義擬度量為一個除對稱性外，滿足度量所有公理之函數(shù)：

d(x, y) ≥ 0 (非負(fù)值)

d(x, y) = 0   當(dāng)且僅當(dāng)   x = y (同時公理)

d(x, y) = d(y, x) (對稱性，沒有)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)

在現(xiàn)實生活中，擬度量很常見。例如，給定一個由山村所組成之集合 X，則 X 內(nèi)元素間之平均步行時間會形成一個擬度量，因為上坡會比下坡花去更多時間。另一個例子為具有單行道的計程車度量，從點 A 至點 B 的路徑與從點 B 至點 A 的路徑不組成不一樣的集合。不過，這個概念很少用于數(shù)學(xué)之中，且其名稱亦未完成統(tǒng)一。

實數(shù)上的擬度量可定義為

由此一擬度量所導(dǎo)出之拓?fù)淇臻g為下限拓?fù)?。此一空間可描述削去金屬棒的過程：可輕易地減少其長度，但很難或不可能增加其長度。

若 d 為 X 上之?dāng)M度量，則下列式子可形成 X 上的度量 d"：

半度量

X 上之半度量為一函數(shù) d : X × X → R，滿足前三個公理，但不一定滿足三角不等式：

d(x, y) ≥ 0

d(x, y) = 0   當(dāng)且僅當(dāng)   x = y

d(x, y) = d(y, x)

一些作者會使用較弱的三角不等式，如：

ρ-度量外不等式蘊涵著 ρ-放寬三角不等式（假定第一個公理成立），且 ρ-放寬三角不等式蘊涵著 2ρ-度量外不等式。三角不等式即為 1-放寬三角不等式，因此蘊涵著 2-度量外不等式，且超度量不等式恰為 1-度量外不等式。滿足這些等價條件的半度量有時會被稱為“擬度量”、“近度量”或外度量。

ρ-度量外不等式被用來模擬互聯(lián)網(wǎng)內(nèi)的來回通訊延遲。

預(yù)度量

放寬度量的后三個公理會形成預(yù)度量，即一個滿足下列條件之函數(shù)：

d(x, y) ≥ 0

d(x, x) = 0

其稱呼并未統(tǒng)一。預(yù)度量有時會被用來指其他如偽半度量或偽度量等度量的推廣。

每個預(yù)度量都能依下列方式形成拓?fù)?。對于一個正實數(shù) r，中心為點 p，半徑為 r 的開球為

一個集合稱之為“開放”的，若對于任一個集合內(nèi)的點 p，均存在一個 Br(p) 包含于該集合內(nèi)。每個預(yù)度量空間都是拓?fù)淇臻g，并實際上，都是序列空間。一般而言，Br(p) 不一定會是此一拓?fù)渲_集合。兩個集合 A 與 B 間的距離可定義為

上式會形成預(yù)度量空間內(nèi)冪集上之預(yù)度量。若從一（偽半）度量空間開始，則可得到一個偽半度量，亦即為一個對稱預(yù)度量。每個預(yù)度量都可以形成一個預(yù)閉運算子，如下所示：

偽擬度量

可結(jié)合“偽”、“擬”、“半”等前綴詞，如偽擬度量會放寬同時公理與對稱公理，且僅是個具三角不等式的預(yù)度量。對于偽擬度量空間，開球可形成開集合的基。有關(guān)偽擬度量的一個非?；镜睦訛榧?{0,1}，具有 d(0,1) = 1 與 d(1,0) = 0 所形成之預(yù)度量。其對應(yīng)之拓?fù)淇臻g為謝爾賓斯基空間。

威廉·勞維爾曾研究過具有擴(kuò)展偽擬度量的集合，稱之為“廣義度量空間”。從范疇論的觀點來看，擴(kuò)展擬度量空間與擴(kuò)推偽擬度量空間，及其對應(yīng)之不放大映射，是表現(xiàn)最好的度量空間范疇?？扇∪我舛嗟姆e與上積，形成在給定范疇內(nèi)的商對象。若去掉“擴(kuò)展”這個條件，則只能取有限多的積與上積。若去掉“偽”這個條件，則無法形成商對象。趨近空間（英語：Approach space）為能維持這些良好的范疇性質(zhì)之度量空間的推廣。

推廣度量的重要情況

在微分幾何里會使用到度量張量，可被認(rèn)為是個“無窮小”二次度量函數(shù)，被定義為在流形的切空間上，具有適當(dāng)之可微分性質(zhì)的非退化對稱雙線性形式。雖然度量張量不是本條目所定義之度量函數(shù)，透過對流形上之路徑的度量張量之平方根積分，可導(dǎo)出偽半度量函數(shù)。具有度量張量的流形稱為偽黎曼流形，用于相對論的幾何研究內(nèi)。若對度量張量上之內(nèi)積加上正定性之性質(zhì)，則其流形稱之為黎曼流形，且其路徑之積分能導(dǎo)出度量。

參見

距離

度量空間

度量張量

聲學(xué)度規(guī)

完備度量

參考資料

Arkhangel"skii, A. V.; Pontryagin, L. S., General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, 1990, ISBN 3-540-18178-4 

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446, OCLC 32311847 

Rachev, Svetlozar T.; Stoyanov, Stoyan V.; Fabozzi, Frank J., Advanced Stochastic Models, Risk Assessment, and Portfolio Optimization: The Ideal Risk, Uncertainty, and Performance Measures, ISBN 978-0-470-05316-4  pages 91–94 explain the use of quasimetrics in finance.

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫的作者，感謝每一位的分享。