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比較

公式

一個(gè)物體的史瓦西半徑與其質(zhì)量呈正比，其比例常數(shù)中僅有萬(wàn)有引力常數(shù)和光速出現(xiàn)。史瓦西半徑的公式，其實(shí)是從物件逃逸速度的公式衍生而來(lái)。它將物件的逃逸速度設(shè)為光速，配合萬(wàn)有引力常數(shù)及天體質(zhì)量，便能得出其史瓦西半徑。

當(dāng)中，

把常數(shù)的數(shù)值計(jì)算，這條公式也可寫(xiě)成

r s {\displaystyle r_{s}} 的單位是“米”，而 m {\displaystyle m} 的單位則是“千克”。

要注意的是，雖然以上公式能計(jì)算出準(zhǔn)確數(shù)值，但需透過(guò)廣義相對(duì)論才能夠正確推導(dǎo)出史瓦西半徑。有人認(rèn)為牛頓力學(xué)及廣義相對(duì)論能導(dǎo)出相同結(jié)果，純粹是巧合而已，但也有人認(rèn)為這暗示著尚未被發(fā)現(xiàn)的理論。

從牛頓力學(xué)出發(fā)

下述為上式以經(jīng)典力學(xué)為依歸的推導(dǎo)過(guò)程，雖然結(jié)果與用廣義相對(duì)論得出的解不謀而合，也不能視為正確，因牽涉到光速，而必須作相對(duì)性的修正，僅供參考。

設(shè)一物體 a {\displaystyle a} 質(zhì)量為 m a {\displaystyle m_{a}} ，想擺脫一質(zhì)量為 m {\displaystyle m} 、半徑為 r {\displaystyle r} 的星體的引力場(chǎng)，飛到無(wú)限遠(yuǎn)處，開(kāi)始時(shí)該物體在星體的表面上。因此，它的動(dòng)能必須大于引力勢(shì)能

移項(xiàng)后得出

此時(shí)，上式的 v {\displaystyle v} 就是物體 a {\displaystyle a} 的脫離速度。

若該星體是一個(gè)黑洞，而物體 a {\displaystyle a} 剛位于它的視界之上，則

此刻，其脫離速度必為光速 c {\displaystyle c} ，所以

把②與③代入①得

整理后再改寫(xiě)成

從廣義相對(duì)論出發(fā)

史瓦西半徑的公式，其實(shí)是從物件逃逸速度的公式衍生而來(lái)。它將物件的逃逸速度設(shè)為光速，配合萬(wàn)有引力常數(shù)及天體質(zhì)量，便能得出其史瓦西半徑 R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s}=2{\frac {GM}{c^{2}}}}

推導(dǎo)過(guò)程：

由 F = G M m r 2 {\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}} 得知 r {\displaystyle r} 越小 則 F {\displaystyle F} 越大

而引力 F {\displaystyle F} 正比于 物體吸引落下速度 v {\displaystyle v} ，且速度 v {\displaystyle v} 最大值為 c {\displaystyle c}

求星體半徑臨界值（ v = c {\displaystyle v=c} 之 r {\displaystyle r} 臨界值）即為史瓦西半徑

由 F = m a = m g {\displaystyle F=ma=mg} 得 G M m r 2 = m g {\displaystyle {\frac {GMm}{r^{2}}}=mg} 故 g = G M r 2 {\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}} 由固定引力場(chǎng)勢(shì)能得非固定引力場(chǎng)勢(shì)能公式

將 E = m g h {\displaystyle E=mgh} 代換成 E = G M m h r 2 {\displaystyle E={\frac {GMmh}{r^{2}}}} ，且 h = r {\displaystyle h=r} ，故 E = G M m r {\displaystyle E={\frac {GMm}{r}}} 表勢(shì)能

列出受星體吸引物質(zhì)之速度與勢(shì)能對(duì)應(yīng)式，求得臨界半徑 r {\displaystyle r} (史瓦西半徑)

1 2 m v 2 = G M m r {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMm}{r}}}

做勞倫茲變換，有

1 2 m v 2 1 ? ? --> ( v c ) 2 = G M m r 1 ? ? --> ( v c ) 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}={\frac {GMm}{r{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}}

在 v < c {\displaystyle v 時(shí)，有 r = 2 G M v 2 {\displaystyle r={\frac {2GM}{v^{2}}}}

當(dāng) v {\displaystyle v} 無(wú)限趨近于 c {\displaystyle c} 時(shí)，求極限 R s = lim v → → --> c r {\displaystyle R_{s}=\lim _{v\rightarrow c}r} ，可得

R s = 2 G M c 2 {\displaystyle R_{s}=2{\frac {GM}{c^{2}}}} ； 　　 其中， R s {\displaystyle R_{s}} 為史瓦西半徑， G {\displaystyle G} 為引力常數(shù)， M {\displaystyle M} 為恒星質(zhì)量， c {\displaystyle c} 為光速。

分類(lèi)

超大質(zhì)量黑洞

假如一個(gè)天體的密度為1000千克/立方米（水在普通條件下的密度），而其質(zhì)量約為1.5億個(gè)太陽(yáng)質(zhì)量的話(huà)，它的史瓦西半徑會(huì)超過(guò)它的自然半徑，這樣的黑洞被稱(chēng)為是超大質(zhì)量黑洞。絕大多數(shù)今天觀察到的黑洞的跡象來(lái)自于這樣的黑洞。一般認(rèn)為它們不是由星群收縮碰撞造成的，而是從一個(gè)恒星黑洞開(kāi)始不斷增長(zhǎng)、與其它黑洞合并而形成的。一個(gè)星系越大其中心的超大質(zhì)量黑洞也越大。

恒星黑洞

假如一個(gè)天體的密度為核密度（約10 千克/立方米，相當(dāng)于中子星的密度）而其總質(zhì)量在太陽(yáng)質(zhì)量的三倍左右則該天體會(huì)被壓縮到小于其史瓦西半徑，形成一個(gè)恒星黑洞。

微黑洞

小質(zhì)量的史瓦西半徑也非常小。一個(gè)質(zhì)量相當(dāng)于喜馬拉雅山的天體的史瓦西半徑只有一納米。目前沒(méi)有任何可以想象得出來(lái)的原理可以產(chǎn)生這么高的密度。一些理論假設(shè)宇宙產(chǎn)生時(shí)會(huì)產(chǎn)生這樣的小型黑洞。

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