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概論

自旋角動(dòng)量是系統(tǒng)的一個(gè)可觀測量，它在空間中的三個(gè)分量和軌道角動(dòng)量一樣滿足相同的對(duì)易關(guān)系。每個(gè)粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角動(dòng)量遵從角動(dòng)量的普遍規(guī)律，p=[J(J+1)]h，此為自旋角動(dòng)量量子數(shù) ，J ＝ 0，1 ／ 2，1，3／2，……。自旋為半奇數(shù)的粒子稱為費(fèi)米子，服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)；自旋為0或整數(shù)的粒子稱為玻色子，服從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)。復(fù)合粒子的自旋是其內(nèi)部各組成部分之間相對(duì)軌道角動(dòng)量和各組成部分自旋的矢量和，即按量子力學(xué)中角動(dòng)量相加法則求和。已發(fā)現(xiàn)的粒子中，自旋為整數(shù)的，最大自旋為4；自旋為半奇數(shù)的，最大自旋為3／2。

自旋是微觀粒子的一種性質(zhì)，沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，是一種全新的內(nèi)稟自由度。自旋為半奇數(shù)的物質(zhì)粒子服從泡利不相容原理。

發(fā)展史

自旋的發(fā)現(xiàn)，首先出現(xiàn)在堿金屬元素的發(fā)射光譜課題中。于1924年，泡利首先引入他稱為是“雙值量子自由度”（two-valued quantum degree of freedom），與最外殼層的電子有關(guān)。這使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即沒有兩個(gè)電子可以在同一時(shí)間共享相同的量子態(tài)。

泡利的“自由度”的物理解釋最初是未知的。遶夫·克勒尼希（英語：Ralph Kronig），朗德的一位助手，于1925年初提出它是由電子的自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的。當(dāng)泡利聽到這個(gè)想法時(shí)，他予以嚴(yán)厲的批駁，他指出為了產(chǎn)生足夠的角動(dòng)量，電子的假想表面必須以超過光速運(yùn)動(dòng)。這將違反相對(duì)論。很大程度上由于泡利的批評(píng)，克勒尼希決定不發(fā)表他的想法。

當(dāng)年秋天，兩個(gè)年輕的荷蘭物理學(xué)家產(chǎn)生了同樣的想法，它們是烏倫貝克和撒穆爾·古德施密特（英語：Samuel Goudsmit）。在保羅·埃倫費(fèi)斯特的建議下，他們以一個(gè)小篇幅發(fā)表了他們的結(jié)果。它得到了正面的反應(yīng)，特別是在雷沃林·托馬斯（英語：Llewellyn Thomas）消除了實(shí)驗(yàn)結(jié)果與烏倫貝克和古德施密特的（以及克勒尼希未發(fā)表的）計(jì)算之間的兩個(gè)矛盾的系數(shù)之后。這個(gè)矛盾是由于電子指向的切向結(jié)構(gòu)必須納入計(jì)算，附加到它的位置上；以數(shù)學(xué)語言來說，需要一個(gè)纖維叢描述。切向叢效應(yīng)是相加性的和相對(duì)論性的（比如在c趨近于無限時(shí)它消失了）；在沒有考慮切向空間朝向時(shí)其值只有一半，而且符號(hào)相反。因此這個(gè)復(fù)合效應(yīng)與后來的相差了一個(gè)系數(shù)2（參見：湯瑪斯進(jìn)動(dòng)）。

盡管他最初反對(duì)這個(gè)想法，泡利還是在1927年形式化了自旋理論，運(yùn)用了埃爾文·薛定諤和沃納·海森堡發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)代量子力學(xué)理論。他開拓性地使用泡利矩陣作為一個(gè)自旋算子的群表述，并且引入了一個(gè)二元旋量波函數(shù)。

泡利的自旋理論是非相對(duì)論性的。然而，在1928年，保羅·狄拉克發(fā)表了狄拉克方程，描述了相對(duì)論性的電子。在狄拉克方程中，一個(gè)四元旋量（所謂的“狄拉克旋量”）被用于電子波函數(shù)。在1940年，泡利證明了“自旋統(tǒng)計(jì)定理”，它表述了費(fèi)米子具有半整數(shù)自旋，玻色子具有整數(shù)自旋。

自旋量子數(shù)

基本粒子的自旋

對(duì)于像光子、電子、各種夸克這樣的基本粒子，理論和實(shí)驗(yàn)研究都已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們所具有的自旋無法解釋為它們所包含的更小單元圍繞質(zhì)心的自轉(zhuǎn)（即使使用最保守估計(jì)的電子半徑（英語：classical electron radius），電子“赤道”處的速度也需要超光速才能解釋其自旋角動(dòng)量）。由于這些不可再分的基本粒子可以認(rèn)為是真正的點(diǎn)粒子，因此自旋與質(zhì)量、電量一樣，是基本粒子的內(nèi)稟性質(zhì)。

在量子力學(xué)中，任何體系的角動(dòng)量都是量子化的，其值只能為：

其中? ? -->{\displaystyle \hbar }是約化普朗克常數(shù)，而自旋量整數(shù)是整數(shù)或者半整數(shù)（0, 1/2, 1, 3/2, 2,……），自旋量子數(shù)可以取半整數(shù)的值，這是自旋量子數(shù)與軌道量子數(shù)的主要區(qū)別，后者的量子數(shù)取值只能為整數(shù)。自旋量子數(shù)的取值只依賴于粒子的種類，無法用現(xiàn)有的手段去改變其取值（不要與自旋的方向混淆，見下文）。

例如，所有電子具有s=1/2{\displaystyle s=1/2}的自旋，自旋為1/2的基本粒子還包括正電子、中微子和夸克，光子是自旋為1的粒子，理論假設(shè)的引力子是自旋為2的粒子，希格斯玻色子在基本粒子中比較特殊，它的自旋為0。

次原子粒子的自旋

對(duì)于像質(zhì)子、中子及原子核這樣的亞原子粒子，自旋通常是指總的角動(dòng)量，即亞原子粒子的自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的總和。亞原子粒子的自旋與其它角動(dòng)量都遵循同樣的量子化條件。

通常認(rèn)為亞原子粒子與基本粒子一樣具有確定的自旋，例如，質(zhì)子是自旋為1/2的粒子，可以理解為這是該亞原子粒子能量量低的自旋態(tài)，該自旋態(tài)由亞原子粒子內(nèi)部自旋角動(dòng)量和軌道角動(dòng)量的結(jié)構(gòu)決定。

利用第一性原理推導(dǎo)出亞原子粒子的自旋是比較困難的，例如，盡管我們知道質(zhì)子是自旋為1/2的粒子，但是原子核自旋結(jié)構(gòu)的問題仍然是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域。

原子和分子的自旋

原子和分子的自旋是原子或分子中未成對(duì)電子自旋之和，未成對(duì)電子的自旋導(dǎo)致原子和分子具有順磁性。

自旋與統(tǒng)計(jì)

粒子的自旋對(duì)于其在統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的性質(zhì)具有深刻的影響，具有半整數(shù)自旋的粒子遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，稱為費(fèi)米子，它們必須占據(jù)反對(duì)稱的量子態(tài)（參閱全同粒子），這種性質(zhì)要求費(fèi)米子不能占據(jù)相同的量子態(tài)，這被稱為泡利不相容原理。另一方面，具有整數(shù)自旋的粒子遵循玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，稱為玻色子，這些粒子可以占據(jù)對(duì)稱的量子態(tài)，因此可以占據(jù)相同的量子態(tài)。對(duì)此的證明稱為自旋統(tǒng)計(jì)定理，依據(jù)的是量子力學(xué)以及狹義相對(duì)論。事實(shí)上，自旋與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系是狹義相對(duì)論的一個(gè)重要結(jié)論。

自旋的方向

自旋投影量子數(shù)與自旋多重態(tài)

在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)粒子的角動(dòng)量不僅有大?。ㄈQ于粒子轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢），而且有方向（取決于粒子的旋轉(zhuǎn)軸）。量子力學(xué)中的自旋同樣有方向，但是是以一種更加微妙的形式出現(xiàn)的。

在量子力學(xué)中，對(duì)任意方向的角動(dòng)量分量的測量只能取如下值：

其中s是之前章節(jié)討論過的自旋量子數(shù)?？梢钥闯鰧?duì)于給定的s，sz{\displaystyle s_{z}}可以取“2s+1”個(gè)不同的值。例如：對(duì)于自旋為1/2的粒子，"sz"只能取兩個(gè)不同的值，+1/2或-1/2。相應(yīng)的量子態(tài)為粒子自旋分別指向+z或-z方向，一般我們把這兩個(gè)量子態(tài)叫做"spin-up"和"spin-down"。 對(duì)于一個(gè)給定的量子態(tài)，可以給出一個(gè)自旋矢量? ? -->S? ? -->{\displaystyle \langle S\rangle }，它的各個(gè)分量是自旋沿著各坐標(biāo)軸分量的數(shù)學(xué)期望值，即? ? -->S? ? -->=[? ? -->sx? ? -->,? ? -->sy? ? -->,? ? -->sz? ? -->]{\displaystyle \langle S\rangle =[\langle s_{x}\rangle ,\langle s_{y}\rangle ,\langle s_{z}\rangle ]}.這個(gè)矢量描述自旋所指的“方向”，對(duì)應(yīng)于經(jīng)典物理下旋轉(zhuǎn)軸的概念。這個(gè)矢量在實(shí)際做量子力學(xué)計(jì)算時(shí)并不十分有用，因?yàn)樗荒鼙恢苯泳珳?zhǔn)測量：根據(jù)不確定性原理，sx、sy和sz不能同時(shí)有確定值。但是對(duì)于被置于同一個(gè)量子態(tài)的大量粒子，例如使用施特恩－格拉赫儀器得到的粒子，自旋矢量確實(shí)有良好定義的實(shí)驗(yàn)意義。

自旋矢量

自旋與磁矩

自旋狀態(tài)

具有自旋的粒子具有磁偶極矩，就如同經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)的帶電物體。磁矩可以通過多種實(shí)驗(yàn)手段觀察，例如，在施特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)中受到不均勻磁場的偏轉(zhuǎn)，或者測量粒子自身產(chǎn)生的磁場。

一個(gè)基本粒子，電量為q，質(zhì)量為m，自旋為S，則其內(nèi)稟磁矩μ μ -->{\displaystyle \mu }為

其中無量綱量g稱為g-因數(shù)（g-factor），當(dāng)僅有軌道角動(dòng)量時(shí)，g=1。

電子是帶電荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子電動(dòng)力學(xué)理論成功以預(yù)測了電子的g-因數(shù)，其實(shí)驗(yàn)測量值為?2.002?319?304?3622（15），括號(hào)中的兩位數(shù)字為測量的不確定度，來源于標(biāo)準(zhǔn)差，整數(shù)部分2來源于狄拉克方程（狄拉克方程是與將電子自旋與其電磁性質(zhì)聯(lián)系起來的基本方程），小數(shù)部分（0.002?319?304…）來源于電子與周圍電磁場的相互作用，其中也包括電子自身的產(chǎn)生的電磁場。

量子力學(xué)中關(guān)于自旋的數(shù)學(xué)表示

自旋算符

與角動(dòng)量算符類似，自旋滿足對(duì)易關(guān)系：

其中? ? -->ijk{\displaystyle \epsilon _{ijk列維-奇維塔符號(hào)塔符號(hào)。S2{\displaystyle S^{2}}與Sz{\displaystyle S_{z}}的本征值（用狄拉克符號(hào)表示）為：

自旋產(chǎn)生及湮沒算符作用于本征矢量上可以得到：

其中S± ± -->=Sx± ± -->iSy{\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}。

然而與軌道角動(dòng)量所不同的是，自旋的本征矢量不是球諧函數(shù)，它們不是θ θ -->{\displaystyle \theta }和? ? -->{\displaystyle \phi }的函數(shù)，而且s{\displaystyle s}與m{\displaystyle m}不能取半整數(shù)值也只是一種約定，沒有具體的含義。

除了其它性質(zhì)以外，量子力學(xué)描述的所有粒子具有內(nèi)稟自旋（盡管可能出現(xiàn)量子數(shù)S=0{\displaystyle S=0}的情況）。自旋量子數(shù)的取值為約化普朗克常數(shù)? ? -->{\displaystyle \hbar }的整數(shù)倍或半整數(shù)倍，因此波函數(shù)可以寫為ψ ψ -->=ψ ψ -->(r,σ σ -->),{\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,\sigma )\,,}而不是ψ ψ -->=ψ ψ -->(r){\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}，其中σ σ -->{\displaystyle \sigma }可以取值的集合為：σ σ -->∈ ∈ -->{? ? -->S? ? -->? ? -->,? ? -->(S? ? -->1)? ? -->? ? -->,...,+(S? ? -->1)? ? -->? ? -->,+S? ? -->? ? -->}{\displaystyle \sigma \in \{-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar \}}，由此可以區(qū)分玻色子（S=0, 1 , 2 , ...）和費(fèi)米子（S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...）。自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量之和為總角動(dòng)量，在相互作用過程中總角動(dòng)量守恒。

自旋與泡利不相容原理

泡利不相容原理指出，對(duì)于可分辨的N粒子體系，交換其中任意兩個(gè)粒子，則有：

：ψ ψ -->(...;ri,σ σ -->i;...;rj,σ σ -->j;...)=!(? ? -->1)2S? ? -->ψ ψ -->(...;rj,σ σ -->j;...;ri,σ σ -->i;...).{\displaystyle \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...){\stackrel {!}{=}}(-1)^{2S}\cdot \psi (\,...\,;\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j}\,;\,...\,;\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}\,;\,...)\,.}

因此，對(duì)于玻色子，前置因子(? ? -->1)2S{\displaystyle (-1)^{2S}}可簡化為+1，而對(duì)于費(fèi)米子為-1。在量子力學(xué)中，所有的粒子不是玻色子就是費(fèi)米子，而在相對(duì)論量子場論中存在“超對(duì)稱”粒子，它們是玻色子成分和費(fèi)米子成分的線性組合。對(duì)于二維體系，前置因子(? ? -->1)2S{\displaystyle (-1)^{2S}}可以取為任何模為1的復(fù)數(shù)。

電子是自旋量子數(shù)S=1/2的費(fèi)米子；光子是自旋量子數(shù)S=1的玻色子。這充分說明自旋這一特性無法完全用經(jīng)典的內(nèi)稟軌道角動(dòng)量來解釋，也就是不能認(rèn)為自旋是像陀螺一樣的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍澜莿?dòng)量只能導(dǎo)致s取整數(shù)值。電子一般情況下可以不考慮相對(duì)論效應(yīng)，光子必須采用相對(duì)論來處理，而用來描述這些粒子的麥克斯韋方程組，也是滿足相對(duì)論關(guān)系的。

泡利不相容原理非常重要，例如，化學(xué)家和生物學(xué)家常用的元素周期表就是遵循泡利不相容原理制訂的。

自旋與旋轉(zhuǎn)

如上所述，量子力學(xué)指出角動(dòng)量沿任意方向的分量只能取一系列離散值，量子力學(xué)中最普遍的描述粒子自旋的方法是，用一個(gè)歸一完備的復(fù)數(shù)集來表示內(nèi)稟角動(dòng)量在給定坐標(biāo)軸方向投影出現(xiàn)的概率。例如，對(duì)于自旋1/2的粒子，用a± ± -->1/2{\displaystyle a_{\pm 1/2}}表示角動(dòng)量投影出現(xiàn)的概率為? ? -->/2{\displaystyle \hbar /2}和? ? -->? ? -->/2{\displaystyle -\hbar /2}，它們滿足：

由于這些復(fù)數(shù)的取值依賴于坐標(biāo)軸的選取，坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)變換可以是非平凡的，因此要求采用線性的變換法則，以便將所有的轉(zhuǎn)動(dòng)通過一個(gè)矩陣聯(lián)系起來，這要求變換必須滿足乘法運(yùn)算，而且必須保持內(nèi)積不變，因此變換矩陣應(yīng)當(dāng)滿足：

用數(shù)學(xué)語言表述，這些矩陣是SO(3)群的幺正表示，每一個(gè)這樣的表示對(duì)應(yīng)于SU(2)群的一個(gè)表示（SO(3)群是SU(2)群的子群），SU(2)群的每一個(gè)不可約表示對(duì)應(yīng)一個(gè)維度。例如，自旋1/2的粒子在二維表示下作轉(zhuǎn)動(dòng)變換，可以用泡利矩陣表示為：

其中α α -->,β β -->,γ γ -->{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }為歐拉角。

同樣地，可以用高維群表示描述粒子的高階自旋變換，參見泡利矩陣相關(guān)章節(jié)。

自旋與洛倫茲變換

我們可以在洛倫茲變換下研究自旋的行為，但與SO(3)群不同，洛倫茲群SO(3,1)是非緊致的，不存在有限維幺正表示。

對(duì)于自旋1/2的粒子，有可能構(gòu)造出保持內(nèi)積不變的有限維表示。將每個(gè)粒子用一個(gè)四元狄拉克自旋量ψ ψ -->{\displaystyle \psi }來表示，這些旋量在洛倫茲變換下遵守如下規(guī)則：

其中γ γ -->μ μ -->{\displaystyle \gamma _{\mu }}為伽馬矩陣，ω ω -->μ μ -->ν ν -->{\displaystyle \omega _{\mu \nu }}是一個(gè)反對(duì)稱的4× × -->4{\displaystyle 4\times 4}矩陣，它將洛倫茲變換參數(shù)化。我們可以看到內(nèi)積表示

保持不變。由于表示矩陣是非正定的，因此不是幺正表示。

泡利矩陣和自旋算符

量子力學(xué)中表示自旋這個(gè)可觀測量的算符為：

對(duì)于自旋為-1/2的情形，σ σ -->x{\displaystyle \sigma _{x}}, σ σ -->y{\displaystyle \sigma _{y}}和σ σ -->z{\displaystyle \sigma _{z}}為三個(gè)泡利矩陣，表示為

沿x, y和z軸的自旋測量

每個(gè)泡利矩陣的哈密頓量有兩個(gè)本征值：+1和-1。相應(yīng)的歸一化本征矢量為：

根據(jù)量子力學(xué)基本假設(shè)，測量沿x,y或z軸的電子自旋的實(shí)驗(yàn)只能得到相應(yīng)坐標(biāo)軸上自旋算符（Sx{\displaystyle S_{x}}, Sy{\displaystyle S_{y}}, Sz{\displaystyle S_{z}}）的本征值：? ? -->2{\displaystyle {\hbar \over 2}}和? ? -->? ? -->2{\displaystyle {-\hbar \over 2}} 粒子的量子態(tài)可以用一個(gè)具有兩個(gè)分量的自旋量來表示：

當(dāng)測量給定坐標(biāo)軸方向（這里取為x軸）的自旋時(shí)，測量到自旋為? ? -->2{\displaystyle {\hbar \over 2}}的概率恰好為∣ ∣ -->? ? -->ψ ψ -->∣ ∣ -->ψ ψ -->x+? ? -->∣ ∣ -->2{\displaystyle \mid \langle \psi \mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}}。相應(yīng)的測量到自旋為? ? -->? ? -->2{\displaystyle {-\hbar \over 2}}的概率恰好為∣ ∣ -->? ? -->ψ ψ -->∣ ∣ -->ψ ψ -->x? ? -->? ? -->∣ ∣ -->2{\displaystyle \mid \langle \psi \mid \psi _{x-}\rangle \mid ^{2}}。經(jīng)過測量，粒子的自旋將坍縮到相應(yīng)的本征態(tài)。結(jié)果導(dǎo)致，如果粒子在給定坐標(biāo)軸方向的自旋已經(jīng)被測量出確定的值，所有的測量將得到相同的本征值（因?yàn)楱O ∣ -->? ? -->ψ ψ -->x+∣ ∣ -->ψ ψ -->x+? ? -->∣ ∣ -->2=1{\displaystyle \mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{x+}\rangle \mid ^{2}=1}，依此類推），只要其它坐標(biāo)軸方向的自旋還沒有被測量。

沿任意方向的自旋測量

沿任意方向的自旋算符很容易從泡利矩陣導(dǎo)出，令u=(ux,uy,uz){\displaystyle u=(u_{x},u_{y},u_{z})}為任意單位矢量，則沿該方向的自旋算符為σ σ -->u=? ? -->(uxσ σ -->x+uyσ σ -->y+uzσ σ -->z)/2{\displaystyle \sigma _{u}=\hbar (u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z})/2}，算符σ σ -->u{\displaystyle \sigma _{u}}具有本征值± ± -->? ? -->/2{\displaystyle \pm \hbar /2}。對(duì)于高自旋態(tài)，沿任意方向的自旋算符可以通過它與x,y,z軸三個(gè)方向的矢量的內(nèi)積來確定。

對(duì)于自旋-1/2的粒子，一個(gè)沿(ux,uy,uz){\displaystyle (u_{x},u_{y},u_{z})}方向的正交的自旋子為（除了導(dǎo)致0/0的自旋態(tài)）：

確定上述自旋子的一般方法：將矩陣σ σ -->u{\displaystyle \sigma _{u}}對(duì)角化，求取與本征值相應(yīng)的本征矢量，這樣的本征矢量就可以作為自旋子。

自旋測量的相容性

由于泡利矩陣是不對(duì)易的，因此沿不同方向測量的自旋是不相容的，例如，在我們已知x軸方向的自旋的情況下，測量沿y軸方向的自旋，這樣會(huì)將我們先前在x軸方向的測量結(jié)果否定。這可以從泡利矩陣的本征矢量（本征態(tài)）中看出來：

因此，假如我們測量到沿x軸方向的自旋是? ? -->2{\displaystyle {\hbar \over 2}}，這個(gè)粒子的自旋將坍縮為本征態(tài)∣ ∣ -->ψ ψ -->x+? ? -->{\displaystyle \mid \psi _{x+}\rangle }；當(dāng)我們接著測量y軸方向的自旋時(shí)，自旋本征態(tài)將坍縮到∣ ∣ -->ψ ψ -->y+? ? -->{\displaystyle \mid \psi _{y+}\rangle }或者∣ ∣ -->ψ ψ -->y? ? -->? ? -->{\displaystyle \mid \psi _{y-}\rangle }，坍縮到這兩個(gè)本征態(tài)的概率都是12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}，可以認(rèn)為這是測量到了? ? -->? ? -->2{\displaystyle {-\hbar \over 2}}。當(dāng)我們再次測量沿x軸的自旋，測量到? ? -->2{\displaystyle {\hbar \over 2}}或者? ? -->? ? -->2{\displaystyle {-\hbar \over 2}}的概率各為12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}（∣ ∣ -->? ? -->ψ ψ -->x+∣ ∣ -->ψ ψ -->y? ? -->? ? -->∣ ∣ -->2{\displaystyle \mid \langle \psi _{x+}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}和∣ ∣ -->? ? -->ψ ψ -->x? ? -->∣ ∣ -->ψ ψ -->y? ? -->? ? -->∣ ∣ -->2{\displaystyle \mid \langle \psi _{x-}\mid \psi _{y-}\rangle \mid ^{2}}），這說明我們最初沿x軸方向的測量不再正確，因?yàn)榇藭r(shí)沿x軸方向測量的自旋得到兩種本征值的概率是相等的。

應(yīng)用

自旋的直接的應(yīng)用包括：核磁共振譜、電子順磁共振譜、質(zhì)子密度的磁共振成像，以及巨磁電阻硬盤磁頭。自旋可能的應(yīng)用有自旋場效應(yīng)晶體管等。以電子自旋為研究對(duì)象，發(fā)展創(chuàng)新磁性材料和器件的學(xué)科分支稱為自旋電子學(xué)。

旋磁共振

核磁共振

電子順磁共振

相關(guān)條目

自旋-?

泡利矩陣

反常塞曼效應(yīng)

自轉(zhuǎn)

進(jìn)動(dòng)

章動(dòng)

自旋-軌道作用

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