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截積術(shù)

從平面幾何圖形截取一段已知面積，求截取面積有關(guān)的線段長度。 “ 圓田一段直徑十三步，今從邊截積三十二步；問：所截弦矢各幾步？答數(shù)弦十二步矢四步 ”

劉益得到下列方程

即四次方程： ? ? --> 5 x 4 + 52 x 3 + 128 x = 4096 {\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}

演段術(shù)

劉益演段圖

劉益《議古根源》一書今已失傳，但在南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作中還保留《議古根源》演段術(shù)的片段 。楊輝《田畝比類乘除捷法》卷下： 中山劉先生序謂算之術(shù)入則諸門出則直田；《議古根源》故立演段百問，蓋欲演算之片斷也，知片斷則能窮根源。

第六問：直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？

答曰十二步。

演段曰：和自乘有四段直田積一段差方積，所以用四積減和方余得差方一段，卻取方面。

帶從開方正負(fù)損益法

劉益將賈憲的改進(jìn)成為解含任意系數(shù)的高次方程的方法 例：解下列四次方程

? ? --> 5 x 4 + 52 x 3 + 128 x = 4096 {\displaystyle -5x^{4}+52x^{3}+128x=4096}

以4為商(矢)

程序： 1)上商乘負(fù)隅并入下廉得三十二

2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

3) 又已上商乘上廉得一千二十四為方法

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六與實(shí)相消為零

得矢=4

評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)史家錢寶琮說：“宋時(shí)已能建立含負(fù)系數(shù)的四次方程，并能數(shù)值求解

參考文獻(xiàn)

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