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記號約定

在復(fù)分析中復(fù)數(shù)通常用符號 z 表示，它可以分為實部 (x) 與虛部 (y)：

這里 x 與 y 是實數(shù)，i 是虛單位。在這種通常記法下復(fù)數(shù) z 對應(yīng)與笛卡兒平面中的點 (x, y)。

笛卡兒平面中的點 (x, y) 在極坐標(biāo)中也能表示為

在笛卡兒平面中可能假設(shè)反余切取值于 ?π 到 π （弧度，當(dāng) x ≤ 0 時，對 (x,y) 定義“真正的”反切函數(shù)需要一點考慮。在復(fù)平面上它們的極坐標(biāo)具有如下形式（第三個等號源自歐拉公式）

這里

這里 |z| 是復(fù)數(shù) z 的絕對值或模長；θ，z 的輻角，通常取值于區(qū)間 0 ≤ θ < 2π；最后一個等式（|z|e）得自歐拉公式。注意 z 的輻角是多值的，因為復(fù)指數(shù)函數(shù)是周期為 2πi。從而，如果 θ 是 arg(z) 的一個值，其它值由 arg(z) = θ + 2nπ 給出，這里 n 是任何 ≠ 0 整數(shù)。

圍道積分理論是復(fù)分析的重要組成部分。在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的——沿著相反的方向所得的積分值乘以 ?1。習(xí)慣上“正方向”是逆時針方向。例如，沿著單位圓我們從點 z=1 開始，向左上移動經(jīng)過 z=i，然后向左下經(jīng)過 ?1，右下經(jīng)過 ? i，最后向右上移動到達(dá)起點 z=1，這就是單位圓的正方向。

幾乎所有復(fù)分析專注復(fù)函數(shù)——即將復(fù)平面的一個子集映到復(fù)平面某個另外的（可能相交甚至重合）子集。這里習(xí)慣說 f(z) 的定義域位于 z-平面上，并稱 f(z) 的值域或像作為 w-平面中的一個點集。用符號記成

并經(jīng)常將函數(shù) f 視為 z-平面（帶有坐標(biāo) (x, y)）到 w-平面（帶有坐標(biāo) (u, v)） 的變換。

球極平面投影

將復(fù)平面視為一個球面的一部分是有用的。給定一個單位半徑球面，使復(fù)平面穿過其正中間，這樣球的中心與復(fù)平面的原點 z=0 重合，球面上的赤道與平面的單位圓重合。

我們可以將球面上的點與復(fù)平面建立如下一一對應(yīng)。給定平面上一點，連接這一點與球面的北極之直線與球面恰好交于另一點。點 z=0 將投影到球面的南極。因為單位圓周的內(nèi)部在球面內(nèi)，整個區(qū)域（|z| 1）將映到北半球。顯然這個過程是可逆的——給定任何球面上的不為北極的點，我們連接這一點與北極，與平面恰好交與一點。

在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應(yīng)到復(fù)平面上任何一點。我們將其變成一一對應(yīng)，添加一個理想的點——所謂的無窮遠(yuǎn)點——到復(fù)平面上，使其與球面的北極對應(yīng)。復(fù)平面添加一個無窮遠(yuǎn)點這個拓?fù)淇臻g，稱為擴(kuò)充復(fù)平面。這就是數(shù)學(xué)家在討論復(fù)分析時為什么說單個無窮遠(yuǎn)點。在實數(shù)軸上有兩個無窮遠(yuǎn)點，但擴(kuò)充復(fù)平面上只有一個（北極）無窮遠(yuǎn)點。

想象一下球面上的經(jīng)線和緯線投影到平面上會變成什么。平行于赤道的所有緯線，它們將變?yōu)橐栽c z=0 為圓心的圓周；而經(jīng)線將變?yōu)榻?jīng)過原點的直線（從而也經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點，因為它們在球面上同時經(jīng)過北極和南極）。

這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。例如，球面的南極點可能置于平面的原點 z=0 之上，球面于平面在這一點相切。細(xì)節(jié)事實上并不重要，任何球面到平面的球極投影都將產(chǎn)生一個無窮遠(yuǎn)點，球面上的緯線與經(jīng)線將分別映成平面上的圓周與直線。

切割復(fù)平面

當(dāng)討論一個復(fù)變函數(shù)時，想象“切割”復(fù)平面經(jīng)常會有方便之處。這種想法自然出現(xiàn)于多種不同情境。

多值關(guān)系與分支點

考慮簡單的二值關(guān)系

在我們可將這個關(guān)系處理為單值函數(shù)之前，所得值域必須做些限制。在處理實數(shù)的平方根時這是容易做到的。例如，我們可定義

為非負(fù)實數(shù) y 使得 y = x。這個想法在二維復(fù)平面不再如此有效。為了看出為什么，考慮點 z 沿著單位圓周移動 f(z) 值的變化方式。我們有

顯然，當(dāng) z 沿著圓周移動一圈，w 只移動半圈。從而復(fù)平面上一個連續(xù)運動將正平方根e = 1 變?yōu)樨?fù)平方根 e = ?1。

問題之出現(xiàn)是由于在點 z = 0 只有一個平方根，但其它復(fù)數(shù) z ≠ 0 都恰有兩個平方根。在實數(shù)軸上我們在單點 x = 0 處立一個“障礙”以避免這個問題。在復(fù)平面上需要更大的障礙，防止出現(xiàn)任何圍繞分支點（英語：branch point）z = 0 的完全回路。通常做法是引入一個分支切割（branch cut）；在這種情形可以從 z = 0 起沿著正實數(shù)軸一直到無窮遠(yuǎn)點剪開，從而在切開的平面上限制為 0 ≤ arg(z) < 2π。

現(xiàn)在我們可以給出 w = z 的一個完整描述。為此我們需要兩個 z-平面副本，每一個沿著實軸剪開。在一個副本上我們定義 1 的平方根為 e = 1，而在另一個上定義 1 的平方根為 e = ?1。我們稱這兩個切開的整個平面為“片”。由一個連續(xù)性討論，我們可以看出（非單值）函數(shù) w = z 將第一片映為上半 w-平面，0 ≤ arg(w) < π，而將第二片應(yīng)為下半 w-平面，π ≤ arg(w) < 2π)。

這個例子中的分支切割不必非要沿著實軸，甚至不必是直線。任何連接原點 z = 0 與無窮遠(yuǎn)點的連續(xù)曲線都行。在某些情形，分支切割甚至不必經(jīng)過無窮原點。例如，考慮關(guān)系

這里多項式 z ? 1 在 z = ±1 為零，所以 g 顯然由兩個分支點。我們可沿著實軸從 ?1 到 1 切開平面，g(z) 在所得的片上是單值函數(shù)。或者，從 z = 1 沿著正實軸經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點，然后沿著負(fù)實軸到達(dá)另一分支點 z =? 1 切開。

這種情況使用如上所述的球極平面投影最容易看清。在球面上一種切割是沿著連接赤道上兩點 z = ?1 與 z = 1 穿過南半球并經(jīng)過南極點的經(jīng)線；第二種切割是經(jīng)過北半球，連接同樣兩個赤道點并經(jīng)過北極（即無窮遠(yuǎn)點）的經(jīng)線。

亞純函數(shù)定義域的限制

亞純函數(shù)是在其定義域中除了有限或可數(shù)無窮個點之外全純從而解析的復(fù)函數(shù)。函數(shù)不能定義的那些點稱為亞純函數(shù)的極點。有時所有極點位于一條直線上，在這種情形說這個函數(shù)在“切開的平面上全純”。這里是一個簡單的例子。

Γ函數(shù)，其定義為

這里 γ 是歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，當(dāng) z 等于零或負(fù)整數(shù)時，無窮乘積的分母恰有一個為零，故 Γ(z) 只有單極點 0, ?1, ?2, ?3, ...。因為所有極點在負(fù)實數(shù)軸上，從 z = 0 到無窮遠(yuǎn)點，這個函數(shù)可以描述為

“在切開的復(fù)平面上全純，切割是沿著負(fù)實軸從 0（包含）到無窮遠(yuǎn)點?！?/span>

或者，Γ(z) 也能描述為

“在切開的復(fù)平面 ?π < arg(z) < π 并除去點 z = 0 上全純?！?/span>

注意這種切割與我們能剛才遇到的分支截斷稍有不同，因為這事實上在切開的復(fù)平面上除去了實軸。分支截斷留下實軸作為切開復(fù)平面的一邊（0 ≤ θ），但與另一邊（θ < 2π）完全分開。

當(dāng)然，為了構(gòu)造 Γ(z) 一個全純區(qū)域事實上不必完全將從 z = 0 到 ?∞ 的整個線段除去。我們只需將平面在可數(shù)無窮個點 {0, ?1, ?2, ?3, ...} 處穿孔。但這個穿孔平面上的閉回路可能圍繞一個或多個 Γ(z) 的極點，由留數(shù)定理得到的圍道積分不必為零。通過切開復(fù)平面我們不僅確保 Γ(z) 在這些限制的區(qū)域上全純，而且也確保 Γ 在切開的復(fù)平面的任何閉曲線上圍道積分恒等于零。而這在一些數(shù)學(xué)論證中可能非常重要。

收斂區(qū)域的分類

許多復(fù)函數(shù)是用無窮級數(shù)或連分?jǐn)?shù)定義的。分析這些無窮長表達(dá)式的一個基本考慮是確定它們收斂為一個有限值的復(fù)平面區(qū)域。平面上一個切割可能對這個過程有幫助，如下例所示。

考慮由無窮級數(shù)定義的函數(shù)

因為 z = (?z) 對任何復(fù)數(shù) z 成立，顯然 f(z) 是一個 z 的偶函數(shù)，所以可以限制在半個復(fù)平面上分析。又因為當(dāng)

時級數(shù)沒有定義，有理由沿著整個虛軸切開平面，使這個級數(shù)在實部不為零的收斂，當(dāng) z 是純虛數(shù)時需做更細(xì)致的檢驗。

這個例子中切割不過是方便之舉，因為無窮和無定義的點是離散的，且切開的平面可被一個合適的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必須的，不止是為了方便?？紤]無窮周期連分?jǐn)?shù)

可以證明（英語：convergence problem）f(z) 收斂到一個有限值當(dāng)且僅當(dāng) z 不是 z < ?? 的負(fù)實數(shù)。換句話說，這個連分?jǐn)?shù)的收斂區(qū)域是切開的復(fù)平面，這里切割沿著負(fù)實軸從 ?? 直到無窮遠(yuǎn)點。

將切開的平面重新黏合

我們已經(jīng)見到關(guān)系

怎樣通過將 f 的定義域分割成兩個不連通的片變成一個單值函數(shù)。還可以將這兩片黏合在一起形成一個黎曼曲面，在它上面 f(z) = z 可以定義為一個全純函數(shù)，其像是整個 w-平面（除去點 w = 0）。具體做法如下：

考慮兩個切開的復(fù)平面副本，切割沿著正實軸從 z = 0 到無窮遠(yuǎn)點。在一片上定義 0 ≤ arg(z) < 2π，所以由定義 1 = e = 1。在第二片上定義 2π ≤ arg(z) < 4π，同樣由定義有 1 = e = ?1。現(xiàn)在將第二片翻轉(zhuǎn)，從而虛軸與第一片虛軸方向相反，實軸指向相同的方向，將兩片“黏合”起來（從而第一片標(biāo)為“θ = 0”的邊與第二片標(biāo)為“θ < 4π”的邊相連，而第二片標(biāo)為“θ = 2π”的邊與第一片標(biāo)為“θ < 2π” 的邊相連）。得到一個黎曼曲面，f(z) = z 在這個曲面上單值全純。

為了理解為什么 f 在這個區(qū)域上是單值，想象沿著單位圓繞一圈，從第一片上的 z = 1 開始。當(dāng) 0 ≤ θ < 2π 是我們?nèi)匀辉诘谝黄?；?dāng) θ = 2π 我們轉(zhuǎn)移到第二片，沿著分支點 z = 0 在第二片上再繞一圈回到我們的起點，由我們的黏合方式，這里 θ = 4π 等價于 θ = 0。換句話說，當(dāng)變量 z 沿著分支點繞兩周，z 在 w-片面的像只繞一周。

形式微分說明

由此我們可說 f 的導(dǎo)數(shù)在黎曼曲面上除了 z = 0 之外任何地方都存在且為有限（即 f 在 z = 0 之外全純）。

上面討論過的函數(shù)

的黎曼曲面如何構(gòu)造呢？我們同樣從兩個 z-平面副本開始，但這一次每個沿著實軸從 z=?1 到 z = 1 切開——它們是 g(z) 的兩個分支點。我們將其中一個翻轉(zhuǎn)，從而兩個虛軸指向相反，將這兩個切片的對應(yīng)邊黏合。通過沿著以 z =1 為中心的單位圓繞一圈，我們可以驗證 g 在所得的曲面上是單值函數(shù)。從第一片上 z = 2 開始，沿著圓周繞半圈遇到 z = 0 的切割。切割強(qiáng)迫我們轉(zhuǎn)到第二片，從而當(dāng) z 沿著分支點 z = 1 繞 一整圈，w 恰好繞了半圈，w 的符號反過來了（由于 e = ?1），而我們的路徑到達(dá)這個曲面的第二片上的 z = 2。繼續(xù)半周我們遇到了另一個邊的切割，在 z = 0 處，在繞分支點兩周之后最終到達(dá)我們的起點（第一片上的 z = 2）。

這個例子中標(biāo)記 θ = arg(z) 的自然方式是在第一片上令 ?π < θ ≤ π，第二片為 π < θ ≤ 3π。兩片的虛軸方向相反，從而一片上逆時針意義的正旋轉(zhuǎn)仍然是另一片上的閉回路運動（記住第二片翻轉(zhuǎn)了）。想象這個曲面嵌入一個三維空間，兩片都平行于 xy-平面。則這個平面上出現(xiàn)一個鉛直洞，在此處兩個切割連接起來。如果當(dāng)切割是從 z = ?1 沿負(fù)實軸到無窮，然后沿正實軸到 z=1，又是如何呢？同樣可以構(gòu)造一個黎曼曲面，但這一次“洞”是水平的。 從拓?fù)渖险f，這兩個黎曼曲面是等價的，它們都是虧格為 1 的可定向二維曲面。

其它含義

本文中上面幾節(jié)將“復(fù)平面”處理為復(fù)數(shù)的幾何類比。盡管術(shù)語“復(fù)平面”這種用法具有長期與數(shù)學(xué)悠久的歷史，但并不意味著是惟一的稱之為“復(fù)平面”的數(shù)學(xué)概念。至少有三種其它可能。

1 + 1 維閔可夫斯基空間，也稱為分裂復(fù)平面，代數(shù)分裂復(fù)數(shù)可分解為兩個實數(shù)部分，容易將其關(guān)聯(lián)到笛卡兒平面里的點 (x, y) 。

實數(shù)上的二元數(shù)集合也能與笛卡兒平面中的點 (x, y) 一一對應(yīng)，給出了另一個“復(fù)平面”。

向量空間 C×C，復(fù)數(shù)與自身的笛卡兒積，是一個其坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的二維向量空間，在這種意義下也是一個“復(fù)平面”。

另見

星座圖

拉普拉斯變換

黎曼球面

黎曼曲面

S平面

Z-變換

參考文獻(xiàn)

Francis J. Flanigan, Complex Variables: Harmonic and Analytic Functions, Dover, 1983 ISBN 0-486-61388-7.

Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.

H. S. Wall, Analytic Theory of Continued Fractions, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; reprinted (1973) by Chelsea Publishing Company ISBN 0-8284-0207-8.

E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

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