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數(shù)學(xué)表述

用數(shù)學(xué)來表述，波動(dòng)方程為

其中，f(x,t){\displaystyle f(\mathbf {x} ,t)} 是描述波動(dòng)的函數(shù)，? ? -->2{\displaystyle \nabla ^{2}} 是拉普拉斯算符，v{\displaystyle v} 是波動(dòng)速度的速度，x{\displaystyle \mathbf {x} } 是位置，t{\displaystyle t} 是時(shí)間。

描述平面波的函數(shù)ψ ψ -->~ ~ -->(x,t){\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)} 是波動(dòng)方程的一種解答：

平面波 ψ ψ -->~ ~ -->(x,t){\displaystyle {\tilde {\psi }}(\mathbf {x} ,t)} 的形式為：

其中，i{\displaystyle i} 是虛數(shù)單位，k{\displaystyle \mathbf {k} } 是波矢，ω ω -->=kv{\displaystyle \omega =kv} 是角頻率，A~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {A}}} 是復(fù)值的振幅標(biāo)量。

取復(fù)函數(shù)的實(shí)部，則可以得到其物理意義。

注意到在任意時(shí)刻 t=t0{\displaystyle t=t_{0}} ，波相位不變的曲面滿足方程

或者，

其中，c1{\displaystyle c_{1}} 、c2{\displaystyle c_{2}} 是任意常數(shù)。

所有滿足這方程的 x{\displaystyle \mathbf {x} } 形成一個(gè)與 k{\displaystyle \mathbf {k} } 相互垂直的平面，平行波的波前就是這種平面，所有的波前都與 k{\displaystyle \mathbf {k} } 相互垂直，都相互平行。

對于矢量的波動(dòng)方程，像描述在彈性固體內(nèi)的機(jī)械波或電磁波的波動(dòng)方程：

其中，E{\displaystyle \mathbf {E} } 是電場，B{\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場;

解答也很類似：

其中，A~ ~ -->{\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}} 是復(fù)值的振幅矢量。

橫波的振幅矢量垂直于波矢，像傳播于均向性介質(zhì)的電磁波?？v波的振幅矢量平行于波矢，像傳播于氣體或液體的聲波。

傳播于某介質(zhì)內(nèi)，角頻率與波矢之間的關(guān)系，可以以函數(shù) ω ω -->(k){\displaystyle \omega (\mathbf {k} )} 表達(dá)，稱為介質(zhì)的色散關(guān)系。對于這介質(zhì)相速度相速度是

群速度是

參考文獻(xiàn)

J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。

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