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表面積

有一條平面曲線，跟它的同一個(gè)平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面的表面積A{\displaystyle A}，等于曲線的長(zhǎng)度s{\displaystyle s}乘以曲線的幾何中心經(jīng)過的距離d1{\displaystyle d_{1}}：A=sd1{\displaystyle A=sd_{1}}。

例：設(shè)環(huán)面圓管半徑為r{\displaystyle r}，圓管中心到環(huán)面中心距離為R{\displaystyle R}，把環(huán)面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環(huán)面表面積為(2π π -->r)(2π π -->R)=4π π -->2rR{\displaystyle (2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}rR}

若有平面連續(xù)曲線y=f(x){\displaystyle y=f(x)}，求x{\displaystyle x}在[a,b]{\displaystyle [a,b]}時(shí)，曲線以x{\displaystyle x}軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是y{\displaystyle y}，曲線長(zhǎng)度為1+(dydx)2{\displaystyle {\sqrt {1+({\frac {\mathrm jbhngfq y}{\mathrm zwkwcml x}})^{2}}}}，因此這個(gè)曲面的表面積便是：

體積

由平面形狀繞和它的同一個(gè)平面上的軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積V{\displaystyle V}，等于平面形狀面積S{\displaystyle S}乘以平面形狀的幾何中心經(jīng)過的距離d1{\displaystyle d_{1}}的積：V=Sd1{\displaystyle V=Sd_{1}}。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉(zhuǎn)體體積V=π π -->∫ ∫ -->aby2dx{\displaystyle V=\pi \int _{a}^y^{2}\;\mathrm z2ywe6g x}。

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