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定義

閉包點(diǎn)

設(shè) S 為歐幾里德空間內(nèi)的一個(gè)子集，若所有以 x 為中心的開球都包含 S 內(nèi)的一點(diǎn)（這個(gè)點(diǎn)也可以是 x 自身），即稱 x 為 S 的閉包點(diǎn)。

上述定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S 之上。具體地說，設(shè) X 為具度量 d 的度量空間， S 為 X 內(nèi)的子集，若對所有的 r > 0，皆存在一個(gè) S 內(nèi)的點(diǎn) y ，使得 d ( x , y ) < r （同樣地， x = y 也可 ），即稱 x 為 S 的閉包點(diǎn)。另外，也可以如下定義：若 d ( x , S ) := inf{ d ( x , s ) : s in S } = 0，即稱 x 為 S 的閉包點(diǎn)。上述兩種定義的寫法是同樣的意思。

最后，閉包點(diǎn)的定義也可以推廣到拓?fù)淇臻g，只需要用鄰域替代“開球”即可。設(shè) S 為拓?fù)淇臻g X 的子集，則 x 稱為 S 的閉包點(diǎn)，若所有 x 鄰域都包含 S 內(nèi)的一點(diǎn)。注意，這個(gè)定義并不要求鄰域一定要為開集。

極限點(diǎn)

閉包點(diǎn)的定義非常接近極限點(diǎn)的定義。這兩個(gè)定義之間的差別非常微小但很重要——在極限點(diǎn)的定義中，點(diǎn) x 的鄰域必須包含“ 不是 x 自身的”這個(gè)集合的點(diǎn)。

因此，所有極限點(diǎn)都是閉包點(diǎn)，但不是所有的閉包點(diǎn)都是極限點(diǎn)。不是極限點(diǎn)的閉包點(diǎn)就是孤點(diǎn)。也就是說，點(diǎn) x 是孤點(diǎn)，若它是 S 的元素，且存在 x 的鄰域，該鄰域中除了 x 沒有其他的點(diǎn)屬于 S 。

對給定的集合 S 和點(diǎn) x ， x 是 S 的閉包點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) x 屬于 S ，或 x 是 S 的極限點(diǎn)。

集合的閉包

集合 S 的 閉包 是指由所有 S 的閉包點(diǎn)所組成的集合。 S 的閉包寫作 cl( S )，Cl( S ) 或 S 。集合的閉包具有如下性質(zhì)：

cl( S ) 是 S 的閉父集。

cl( S ) 是所有包含 S 的閉集的交集。

cl( S ) 是包含 S 的最小的閉集。

集合 S 是閉集，當(dāng)且僅當(dāng) S = cl( S )。

若 S 是 T 的子集，則 cl( S ) 是 cl( T ) 的子集。

若 A 是閉集，則 A 包含 S 當(dāng)且僅當(dāng) A 包含 cl( S )。

上述第二或第三條性質(zhì)可作為拓?fù)溟]包的 定義 。

在第一可數(shù)空間（如度量空間）中，cl( S ) 是所有點(diǎn)的收斂序列的所有極限。

注意，若將“閉包”、“交集”、“包含”、“最小”、“閉”等詞匯相應(yīng)替換成“內(nèi)部”、“并集”、“包含于”、“最大”、“開”，上述性質(zhì)仍然成立。更多信息請參看下面的“閉包算子”。

其他性質(zhì)

集合的交集的閉包是集合的閉包的交集的子集。

有限多個(gè)集合的并集的閉包和這些集合的閉包的并集相等；零個(gè)集合的并集為空集，所以這個(gè)命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個(gè)集合的并集的閉包不一定等于這些集合的閉包的并集，但前者一定是后者的父集。

若 A {\displaystyle A} 為包含 S {\displaystyle S} 的 X {\displaystyle X} 的子空間，則 S {\displaystyle S} 在 A {\displaystyle A} 中計(jì)算得到的閉包等于 A {\displaystyle A} 和 S {\displaystyle S} 在 X {\displaystyle X} 中計(jì)算得到的閉包（ C l A ( S ) = A ∩ ∩ --> C l X ( S ) {\displaystyle Cl_{A}(S)=A\cap Cl_{X}(S)} ）的交集。特別的， S {\displaystyle S} 在 A {\displaystyle A} 中是稠密的，當(dāng)且僅當(dāng) A {\displaystyle A} 是 C l X ( S ) {\displaystyle Cl_{X}(S)} 的子集。

舉例

在任意空間，空集的閉包是空集。

對任意空間 X ，cl( X ) = X 。

若 X 為實(shí)數(shù)的歐幾里得空間 R ，則 cl((0, 1)) = [0, 1]。

若 X 為實(shí)數(shù)的歐幾里得空間 R ，則有理數(shù)集合 Q 的閉包是全空間 R 。也就是， Q 在 R 中是稠密的。

若 X 為復(fù)平面 C = R ，則 cl({ z 屬于 C : | z | > 1}) = { z 屬于 C : | z | ≥ 1}。

若 S 為歐幾里得空間的有限子集，則 cl( S ) = S 。（在一般拓?fù)淇臻g，這個(gè)性質(zhì)和T 1 公理等價(jià)。）

在實(shí)數(shù)集上，除了標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)?，還可以使用其他的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

若 X = R ，且 R 有下限拓?fù)?，則 cl((0, 1)) = [0, 1]。

若考慮 R 中所有集合都是開（閉）集的拓?fù)?，則 cl((0, 1)) = (0, 1)。

若考慮 R 中只有空集和 R 自身是開（閉）集的拓?fù)?，則 cl((0, 1)) = R 。

上述示例中集合的閉包取決于背景空間的拓?fù)?。接下來給出的兩個(gè)示例比較特殊。

在任意離散空間中，由于所有集合都是開（閉）集，所以所有集合都等于其閉包。

在任意不可分空間 X 中，由于只有空集和 X 自身是開（閉）集，所以空集的閉包是空集，對 X 中的非空集 A ，cl( A ) = X 。也就是說，所有非離散空間中的非空集都是稠密的。

集合的閉包也取決于背景空間。例如：若 X 是有理數(shù)集合，具有從歐幾里得空間 R 中得到的子空間拓?fù)洌?S = { q 屬于 Q : q > 2}，則 S 是 Q 中的閉集，且 S 在 Q 中的閉包是 S 。相應(yīng)的， S 在歐幾里得空間 R 中的閉包是所有大于 等于 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的 實(shí)數(shù) 組成的集合。

閉包算子

閉包算子 和內(nèi)部算子 對偶，即

并且

這里， X 表示包含 S 的拓?fù)淇臻g，反斜線表示集合的補(bǔ)集。

因此，閉包算子和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論就可以方便地轉(zhuǎn)換為內(nèi)部算子的寫法，這里只需要將集合用它們的補(bǔ)集替換就可以了。

通過對給定集合反復(fù)應(yīng)用閉包和補(bǔ)集運(yùn)算最多能得到 14 個(gè)不同的集合，這個(gè)結(jié)果叫做庫拉托夫斯基十四集問題。

參見

內(nèi)部

庫拉托夫斯基閉包公理

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