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閉集等價(jià)的定義

在拓?fù)淇臻g內(nèi)，一個(gè)集合是閉集當(dāng)且僅當(dāng)它與它的閉包相同。等價(jià)地，一個(gè)集合是閉集當(dāng)且僅當(dāng)所有的極限點(diǎn)都是這個(gè)集合中的點(diǎn)。

不要混淆于閉流形。

性質(zhì)

閉集包含其自身的邊界。換句話說，這個(gè)概念基于“外部”的概念，如果你在一個(gè)閉集的外部，你稍微“抖動”一下仍在這個(gè)集合的外部。注意，這個(gè)概念在邊界為空的時(shí)候還是真的，比如在有理數(shù)的度量空間中，對于平方小于2的數(shù)的集合。

任意多個(gè)閉集的交集是閉集；有限多個(gè)閉集的并集是閉集。特別的，空集和全空間是閉集。

交集的性質(zhì)也被用來定義空間 X {\displaystyle X} 上的集合 A {\displaystyle A} 的閉包，即 X {\displaystyle X} 的閉合子集中最小的 A {\displaystyle A} 的父集。特別的， A {\displaystyle A} 的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構(gòu)造。

例子

區(qū)間[ a , b ]在實(shí)數(shù)上是閉集。（方括號、圓括號的集合符號，參見區(qū)間文中的解釋。）

單位區(qū)間[0,1]在實(shí)數(shù)的度量空間中是閉集。而集 [ 0 , 1 ] ∩ ∩ --> Q {\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }有理數(shù)有理數(shù)上是閉集，但在實(shí)數(shù)上并不是閉集。

有些集合既不是開集也不是閉集，如實(shí)數(shù)上的半開區(qū)間 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} 。

有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集。

半?yún)^(qū)間[1,?+∞)是閉集。

康托爾集是一個(gè)獨(dú)特的閉集，它包含所有邊界點(diǎn)，并且沒有一處是稠密的。

辛格爾頓（Singleton）點(diǎn)（則為有限集）在豪斯多夫空間內(nèi)是閉集。

如果 X 和 Y 是拓?fù)淇臻g，當(dāng)且僅當(dāng) Y 中閉集的原像在 X 中也是閉集，從 X 到 Y 的函數(shù) f 才是連續(xù)的。

細(xì)說

上述閉集的定義是根據(jù)開集而來得，這一概念在拓?fù)淇臻g上是有意義的，同時(shí)也適用于含有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的其他空間，如度量空間、可微流形、一致空間和規(guī)格空間。

另一種對閉集的定義是通過序列。拓?fù)淇臻g X {\displaystyle X} 上的子集 A {\displaystyle A} 是 閉合的 ，當(dāng)且僅當(dāng) A {\displaystyle A} 的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬于 A {\displaystyle A} 。這一表述的價(jià)值在于，它可以用在收斂空間的定義中，而收斂空間比拓?fù)淇臻g更普通。注意，這一表述仍然依賴背景空間 X {\displaystyle X} ，因?yàn)樾蛄惺欠裨?X {\displaystyle X} 中收斂依賴于 X {\displaystyle X} 中的點(diǎn)。

集合是否是閉合的通常取決于它所在的空間。然而在某種意義上，緊致的豪斯多夫空間是“絕對閉合的”。精確地說，將緊致的豪斯多夫空間 K {\displaystyle K} 放在任意豪斯多夫空間 X {\displaystyle X} 中， K {\displaystyle K} 總是 X {\displaystyle X} 的一個(gè)閉合子集；這和“背景空間”沒有關(guān)系。實(shí)際上，這個(gè)性質(zhì)刻畫了緊致的豪斯多夫空間。

參見

開集

閉開集

閉包

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