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德林費(fèi)爾德模

加性多項(xiàng)式環(huán)

設(shè) L{\displaystyle L} 為特征 p>0{\displaystyle p>0} 的域。定義其上的非交換多項(xiàng)式環(huán) L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}}

乘法由下述條件確定

元素 τ τ -->{\displaystyle \tau } 可設(shè)想為弗羅貝尼烏斯映射。事實(shí)上，L{\displaystyle L} 是左 L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}}-模，其中 L{\displaystyle L} 以乘法作用而 τ τ -->{\displaystyle \tau } 以 a? ? -->ap{\displaystyle a\mapsto a^{p}} 映射。環(huán) L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}} 也可以看作是如下多項(xiàng)式的集合

這類多項(xiàng)式滿足 f(X+Y)=f(X)+f(Y)∈ ∈ -->L[X,Y]{\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]}，故稱加性多項(xiàng)式；此環(huán)的乘法由多項(xiàng)式的合成給出，而非乘法，故非交換。

形式定義

今設(shè) A{\displaystyle A} 為交換環(huán)，L 上的 德林費(fèi)爾德 A-模定義為環(huán)同態(tài) ψ ψ -->:A→ → -->L{τ τ -->}{\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}}，使得 ψ ψ -->(A){\displaystyle \psi (A)} 不包含于 L{\displaystyle L}；此條件意在排除一些平凡例子。環(huán) A{\displaystyle A} 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標(biāo)環(huán)。

L{τ τ -->}{\displaystyle L\{\tau \}} 可視為加法群 (L,+){\displaystyle (L,+)} 的自同態(tài)，而德林費(fèi)爾德 A-模可視為 A{\displaystyle A} 在 (L,+){\displaystyle (L,+)} 上的作用。

例子

置 A:=Fp[T]{\displaystyle A:=\mathbb {F} _{p}[T]}，對(duì)應(yīng)到虧格為一的仿射代數(shù)曲線。德林費(fèi)爾德模 ψ ψ -->:A→ → -->L{τ τ -->}{\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}} 僅依賴于像 ψ ψ -->(T)∈ ∈ -->L{τ τ -->}? ? -->L{\displaystyle \psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L}。此時(shí)德林費(fèi)爾德?？傻韧?L{τ τ -->}? ? -->L{\displaystyle L\{\tau \}\setminus L}。對(duì)于虧格更高的曲線，德林費(fèi)爾德模會(huì)更復(fù)雜。

承上，Carlitz 模是由 ψ ψ -->(T)=T+τ τ -->{\displaystyle \psi (T)=T+\tau }，L{\displaystyle L} 為含 Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 的完備代數(shù)封閉域給出的德林費(fèi)爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開(kāi)研究，詳見(jiàn)Goss 的著作第三章。

штука

設(shè) X{\displaystyle X} 是有限域 Fp{\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 上的代數(shù)曲線。對(duì)概形或疊 U{\displaystyle U}，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義：

U× × -->X{\displaystyle U\times X} 上的秩 r自由部自由層E,E′{\displaystyle E,E"} 及單射

其余核的支撐集包括于某態(tài)射 U→ → -->X{\displaystyle U\to X} 的圖（稱為該 штука 的零點(diǎn)與極點(diǎn)，記為 0{\displaystyle 0} 與 ∞ ∞ -->{\displaystyle \infty }），且在支撐集上是秩 1{\displaystyle 1} 局部自由層。在此 Fr{\displaystyle \mathrm {Fr} } 表 U{\displaystyle U} 上的弗羅貝尼烏斯態(tài)射。

左 штука 的定義類似，但態(tài)射的方向反轉(zhuǎn)；若極點(diǎn)與零點(diǎn)集互斥，則實(shí)際上無(wú)分左右。

粗略而言，考慮不同的 U{\displaystyle U}，可得代數(shù)疊 Shtr{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 及 Shtr× × -->X{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}\times X} 上的“萬(wàn)有 штука”，并有相對(duì)維度 $2$ 的平滑態(tài)射 (∞ ∞ -->,0):Shtr→ → -->X× × -->X{\displaystyle (\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X}。注意到當(dāng) r>1{\displaystyle r>1} 時(shí)，疊 Shtr{\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 并非有限型的。

德林費(fèi)爾德?？稍谀撤N意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見(jiàn) Drinfel"d, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應(yīng)用

簡(jiǎn)言之，函數(shù)域上的郎蘭茲猜想是關(guān)于 GL(n){\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 的尖點(diǎn)自守表示及某個(gè)伽羅瓦群的表示之間的對(duì)應(yīng)。德林費(fèi)爾德利用 штука 證明n=2{\displaystyle n=2}的情形。此猜想的難處在于構(gòu)造滿足特定性質(zhì)的伽羅瓦表示，德林費(fèi)爾德的高處在于從某個(gè)秩 2{\displaystyle 2} штука 的?？臻g的 ? ? -->{\displaystyle \ell }-進(jìn)上同調(diào)入手，找出相應(yīng)的伽羅瓦表示。

德林費(fèi)爾德認(rèn)為此法可延伸至 n≥ ≥ -->2{\displaystyle n\geq 2} 的情形。拉福格最后克服了其中的大量技術(shù)困難，完成證明。

文獻(xiàn)

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Drinfel"d modulein the Springer encyclopaedia of mathematics

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штука

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拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作

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Lafforgue, LaurentChtoucas de Drinfeld, formule des traces d"Arthur-Selberg et correspondance de Langlands.(Drinfeld shtukas, Arthur-Selberg trace formula and Langlands correspondence) Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Beijing, 2002), 383--400, Higher Ed. Press, Beijing, 2002.

Gérard Laumon,The work of Laurent LafforgueProceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97

G. LaumonLa correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d"apres Laurent Lafforgue)(The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873

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