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定義

令 p {\displaystyle p} 是曲面 S {\displaystyle S} 上一點(diǎn)，考慮 S {\displaystyle S} 上過 p {\displaystyle p} 的所有曲線 C i {\displaystyle C_{i}} 。每條這樣的 C i {\displaystyle C_{i}} 在 p {\displaystyle p} 點(diǎn)有一個伴隨的曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 。在這些曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 中，至少有一個極大值 κ κ --> 1 {\displaystyle \kappa _{1}} 與極小值 κ κ --> 2 {\displaystyle \kappa _{2}} ，這兩個曲率 κ κ --> 1 , κ κ --> 2 {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}} 稱為 S {\displaystyle S} 的主曲率。

p ∈ ∈ --> S {\displaystyle p\in S} 的 平均曲率 是兩個主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章），由歐拉公式其實(shí)也是所有曲率的平均值 ，故有此名。

利用第一基本形式與第二基本形式的系數(shù)，平均曲率表示為：

這里 E , F , G {\displaystyle E,F,G} 是第一基本形式的系數(shù)， L , M , N {\displaystyle L,M,N} 為第二基本形式的系數(shù)。

平均曲率可推廣為更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章），一個超曲面 T {\displaystyle T} 的平均曲率為：

更抽象地說，平均曲率是第二基本形式（或等價地，形算子）的跡 × × --> 1 n {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}} 。

另外，平均曲率 H {\displaystyle H} 可以用共變導(dǎo)數(shù) ? ? --> {\displaystyle \nabla } 寫成

這里利用了高斯-Weingarten 關(guān)系， X ( x , t ) {\displaystyle X(x,t)} 是一族光滑嵌入超曲面， n → → --> {\displaystyle {\vec {n}}} 為單位法向量，而 g i j {\displaystyle g_{ij}} 是度量張量。

一個曲面是極小曲面當(dāng)且僅當(dāng)平均曲率為零。此外，平面 S {\displaystyle S} 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。

3 維空間中曲面

對 3 維空間中的曲面，平均曲率與曲面的單位法向量相關(guān)：

這里法向量的選取影響曲率的正負(fù)號。曲率的符號取決于法向量的方向：如果曲面“遠(yuǎn)離”法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立，只要能夠計算單位法向量的散度。

對曲面是兩個坐標(biāo)的函數(shù)定義的曲面，比如 z = S ( x , y ) {\displaystyle z=S(x,y)} ，使用向下的法向量平均曲率（的兩倍）表示為

如果曲面還是軸對稱的，滿足 z = S ( r ) {\displaystyle z=S(r)} ，則

流體力學(xué)

在流體力學(xué)中使用的另外一種定義是不要因子 2：

這出現(xiàn)于楊-拉普拉斯公式中，平衡球狀小滴內(nèi)部的壓力等于表面張力乘以 H f {\displaystyle H_{f}} ；兩個曲率等于小滴半徑的倒數(shù) κ κ --> 1 = κ κ --> 2 = r ? ? --> 1 {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}} 。

極小曲面

Costa 極小曲面示意圖

一個 極小曲面 是所有點(diǎn)的平均曲率為零的曲面。經(jīng)典例子有懸鏈曲面、螺旋面、Scherk 曲面與 Enneper 曲面。新近發(fā)現(xiàn)的包括 Costa 極小曲面（Costa"s minimal surface，1982年）與 Gyroid（Gyroid，1970年）。

極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數(shù)的曲面，球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf 的一個問題為是否存在曲率為非零常數(shù)的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點(diǎn)的曲面；如果允許自交，則存在平均曲率為非零常數(shù)的閉曲面，Wente 在1986年曾構(gòu)造出這樣的自交環(huán)面（陳維桓 2006，4.6節(jié)）。

參見

高斯曲率

平均曲率流

逆平均曲率流

面積公式第一變分

參考文獻(xiàn)

斯皮瓦克, 邁克爾, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .

陳維桓, 微分幾何, 北京大學(xué)出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9

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