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平面曲線的曲率

曲線 C 在 P 點的密切圓和曲率半徑

對于平面曲線 C ，在一點 P 的曲率大小等于 密切圓 （ 英語 ： Osculating circle ） 半徑的倒數，它是一個指向該圓圓心的向量。其大小可用屈光度（dioptre）衡量，1屈光度等于1（弧度）每米。此密切圓的半徑即為曲率半徑。

密切圓的半徑越小，曲率越大；所以曲線接近平直的時候，曲率接近0，而當曲線急速轉彎時，曲率很大。

直線曲率處處為0；半徑為 r 的圓曲率處為1/ r 。

局部表達式

若曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,} 其曲率為

對于一個以參數化形式給出的平面曲線 c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle c(t)=(x(t),y(t))\,} 其曲率為

對于隱式給出的平面曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0\,} 其曲率為

也就是， f {\displaystyle f\,} 的梯度的方向的散度。 最后的公式也給出了在歐幾里得空間中的超曲面的平均曲率（可以差一個常數）。

空間曲線的曲率

對于一個以參數化形式給出的空間曲線 c ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle c(t)=(x(t),y(t),z(t))\,} 其曲率為

三維空間中的曲面曲率

對于嵌入在歐幾里得空間 R 中的二維曲面，有兩種曲率存在： 高斯曲率 和 平均曲率 。為計算在曲面給定點的曲率，考慮曲面和由在該點的法向量和某一切向量所確定的平面的交集。這個交集是一個平面曲線，所以有一個曲率；如果選擇其它切向量，這個曲率會改變，并且有兩個極值-最大和最小曲率，稱為 主曲率 k 1 和 k 2 ，極值方向稱為 主方向 。這里我們采用在曲線向和曲面選定法向的相同方向繞轉的時候把曲率置為正數，否則為負的約定。

高斯曲率 ，以高斯命名，等于主曲率的乘積—— k 1 k 2 . 它的單位為1／長度 ，對于球、橢球、雙葉雙曲面的一葉、橢圓拋物面為正，對于偽球面、 單葉雙曲面、雙曲拋物面為負，對平面、圓柱面為0。它決定了曲面局部是凸（正的時候）還是局部鞍點（負的時候）。

高斯曲率的以上定義是 外在的 ，因為它用了曲面在 R 中的嵌入，法向量，外部平面等等。但是高斯曲率實際上是曲面的 內在 屬性，也就是它不依賴于曲面的特定嵌入；直觀的講，這意味著活在曲面上的螞蟻可以確定高斯曲率。形式化的，高斯曲率只依賴于曲面的黎曼度量。這就是高斯著名的絕妙定理，在他在研究地理測繪和地圖制作時發(fā)現(xiàn)。

高斯曲率在一點 P 的內在定義的一種：想象一直用一條長為 r 的短線綁在 P 。她在線拉直的時候繞 P 點跑并測量繞 P 點的一圈的周長C( r )。如果曲面是平的，她會發(fā)現(xiàn) C( r ) = 2π r 。在彎曲的曲面上，C( r )的公式不同， P 點的高斯曲率 K 可以這樣計算：

高斯曲率在整個曲面上的積分和曲面的歐拉示性數有密切關聯(lián)；參見高斯-博內定理。

平均曲率 等于主曲率的算術平均數——( k 1 + k 2 )/2，其單位為1／長度。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關，特別的，像肥皂膜這樣的最小曲面平均曲率為0，而肥皂泡平均曲率為常數。不像高斯曲率，平均曲率依賴于嵌入，例如，一個圓柱和一個平面是局部等距的，但是平面的平均曲率為0，而圓柱的非零。

空間的曲率

在宇宙學上，需要考慮"空間的曲率"，就是相應的偽黎曼流形的曲率，見黎曼流形的曲率。

曲率為零的空間稱為平坦空間或歐幾里得空間。另見宇宙的形狀。

參考

曲率形式包含對于有聯(lián)絡的向量叢和主叢的曲率的正確描述。

黎曼流形曲率 有高斯曲率在高維黎曼流形上的推廣。

曲率向量和測地曲率黎曼曲面上的曲線的曲率的描述。

高斯映射有高斯曲率的更多幾何屬性。

高斯-博內定理有曲率的基本應用

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