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連續(xù)數(shù)個(gè)整數(shù)均為哈沙德數(shù)

1994年，H.G. Grundman 證明在十進(jìn)制并無21個(gè)連續(xù)整數(shù)均是哈沙德數(shù)，他亦找到了最小20個(gè)連續(xù)整數(shù)都是哈沙德數(shù)的數(shù)列，它們大于10。

1996年T. Cai 證明了以下的事實(shí)：在二進(jìn)制存在無限多組連續(xù)四個(gè)整數(shù)為哈沙德數(shù)；在三進(jìn)制存在無限多組六個(gè)整數(shù)為哈沙德數(shù)。

有猜想說n進(jìn)制中有無限多組連續(xù)2n個(gè)整數(shù)為哈沙德數(shù)，但并無連續(xù)2n+1個(gè)整數(shù)為哈沙德數(shù)。

密度

設(shè)N(x)為小于或等于x哈沙德數(shù)的數(shù)目，對于任何給定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon發(fā)現(xiàn)：

De Koninck、Doyon和Katai證明：

當(dāng) c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

參考

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175

Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440

Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

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