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定義

拓?fù)淇臻g ( X , τ τ --> ) {\displaystyle (X,\tau )} 的子集 S {\displaystyle S} 的 邊界 （記為 ? ? --> S {\displaystyle \partial S} ）有一些常用及等價(jià)的定義:

S {\displaystyle S} 的閉包減去 S {\displaystyle S} 的內(nèi)部： ? ? --> S = S ˉ ˉ --> ? ? --> S o {\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}} 。

S {\displaystyle S} 的閉包和其補(bǔ)集的閉包的交集： ? ? --> S = S ˉ ˉ --> ∩ ∩ --> ( X ? ? --> S ) ˉ ˉ --> {\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}} 。

? ? --> S {\displaystyle \partial S} 是所有滿足以下條件的點(diǎn) x {\displaystyle x} 的集合： x {\displaystyle x} 的每個(gè)鄰域都包含至少一個(gè)點(diǎn)屬于 S {\displaystyle S} ，且至少一個(gè)點(diǎn)不屬于 S {\displaystyle S} 。這些點(diǎn)稱為 S {\displaystyle S} 的 邊界點(diǎn) 。

性質(zhì)

集合的邊界是閉集。

p 是某集合的邊界點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)所有 p 的鄰域包含至少一個(gè)點(diǎn)屬于該集合且至少一個(gè)點(diǎn)不屬于該集合。

某集合的邊界等于該集合的閉包和該集合的補(bǔ)集的閉包的交集。

某集合是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)該集合的邊界在該集合中；某集合是開集，當(dāng)且僅當(dāng)該集合與其邊界不相交。

某集合的邊界等于其補(bǔ)集的邊界。

某集合的閉包等于該集合和其邊界的并集。

某集合的邊界為空，當(dāng)且僅當(dāng)該集合既是開集也是閉集(也就是閉開集)。

舉例

若 X = [ 0 , 5 ) {\displaystyle X=[0,5)\,} ，則 ? ? --> X = { 0 , 5 } {\displaystyle \partial X=\{0,5\}} 。

? ? --> B ˉ ˉ --> ( a , r ) = B ˉ ˉ --> ( a , r ) ? ? --> B ( a , r ) {\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}

? ? --> D n ? ? --> S n ? ? --> 1 {\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}

? ? --> ? ? --> = ? ? --> {\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }

在 R 中，若 Ω= x + y ≤ 1，則 ?Ω = Ω；但在 R 中，?Ω = {( x , y ) | x + y = 1}。所以，集合的邊界依賴其背景空間。

引用

J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9.

S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.

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