亚洲国产区中文,国产精品91高清,亚洲精品中文字幕久久久久,亚洲欧美另类久久久精品能播放

生物學(xué)上的意義

以下將式子乘開(kāi)，如此可以較容易地解釋方程式的實(shí)際意義。

獵物族群的增值速度

第一式所表達(dá)的是獵物族群的增值速度：

此模型假設(shè)獵物所接受的食物供給已經(jīng)達(dá)到最極限，且除非遭遇掠食者的捕食，否則繁殖數(shù)量的增加以指數(shù)方式成長(zhǎng)，其指數(shù)成長(zhǎng)的情形，則以上述方程式中的 αx 表現(xiàn)。此外并假設(shè)獵物遭遇捕食的比例，和獵物遭遇掠食者的機(jī)會(huì)成常數(shù)比，以上述方程式中的 βxy 表現(xiàn)。如果 x 或 y 其中一個(gè)為零，則皆有可能是沒(méi)有捕食行為出現(xiàn)。

由上述的方程式可知：獵物族群規(guī)模的改變，源于本身受到捕食而產(chǎn)生的成長(zhǎng)衰減。

掠食者族群的增值速度

第二式所表達(dá)的是掠食者族群的增值速度：

此方程式中的 δxy 表示掠食者族群的成長(zhǎng)（可能會(huì)與掠食者與獵物的數(shù)量比例相似，但是掠食者與獵物的數(shù)量比例是以不同的常數(shù)表示，且不一定與族群的成長(zhǎng)相等。） γy 表示掠食者的自然死亡，為指數(shù)衰減。

由上述的方程式可知：掠食者族群規(guī)模的改變，是獵食者族群的成長(zhǎng)，減去其自然死亡的部分。

方程式的解

此方程式擁有周期性的解，但沒(méi)有解析解。通過(guò)龍格－庫(kù)塔法的數(shù)字計(jì)算之后，掠食者與獵物的族群大可以表達(dá)成兩個(gè)曲線圖形。生態(tài)上的實(shí)際大致依照此簡(jiǎn)單模式，不過(guò)詳細(xì)狀況會(huì)有所出入。

洛特卡－沃爾泰拉方程

在此模式系統(tǒng)中，當(dāng)獵物數(shù)量充足的時(shí)候，掠食者的族群也會(huì)興旺起來(lái)。不過(guò)掠食者的族群最后仍然會(huì)因?yàn)槌^(guò)獵物所能供給的數(shù)量而開(kāi)始衰減。當(dāng)掠食者的族群族群縮減，則獵物族群將會(huì)再次增大。兩者的族群大以周期性的成長(zhǎng)與衰減進(jìn)行循環(huán)。

族群規(guī)模的平衡

族群的平衡會(huì)發(fā)生在族群大小不再變化的時(shí)候。例如：兩條微分方程皆等于零的時(shí)候。

求解上述方程式的 x 與 y 可得：

以及

由此可知有兩組解。

第一組解實(shí)際上是表示兩個(gè)物種的滅絕，若是兩個(gè)族群皆為零，則此狀況將永久持續(xù)下去。第二組解表示一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，意思是兩個(gè)族群能夠維持一個(gè)不為零的數(shù)量，并且在簡(jiǎn)單的模型中能夠永久持續(xù)。系數(shù) α, β, γ, 與 δ ，能夠決定族群規(guī)模將在哪種情況下達(dá)成平衡狀態(tài)。

不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性

不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性可以利用偏導(dǎo)數(shù)，將其以線性化方式呈現(xiàn)。

產(chǎn)生的掠食者獵物模型之雅可比矩陣如下：

第一不動(dòng)點(diǎn)

當(dāng)數(shù)值為(0,0)穩(wěn)定狀態(tài)，則雅可比矩陣變成：

此矩陣的特征值為：

模型中的 α 與 γ 永遠(yuǎn)比零大，且每一的特征值的符號(hào)永遠(yuǎn)不一樣。由此可知位在原點(diǎn)的不動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)鞍點(diǎn)（saddle point）。

此不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性相當(dāng)重要，當(dāng)處于穩(wěn)定態(tài)的時(shí)候，非零的族群會(huì)趨向它。一些初始的族群可能會(huì)走向滅絕。然而當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)位于原點(diǎn)時(shí)，也是一個(gè)鞍點(diǎn)，因此并不穩(wěn)定。所以在此模型中，兩個(gè)物種皆難以滅絕。除非以人為方式將獵物完全消滅，并使掠食者因饑荒而死亡。而若是將掠食者完全消滅，則獵物的族群增長(zhǎng)情形，將會(huì)脫離此簡(jiǎn)單模型。

第二不動(dòng)點(diǎn)

在第二不動(dòng)點(diǎn)求 J 值可得：

此矩陣的特征值為：

當(dāng)特征值皆為復(fù)數(shù)時(shí)，此不動(dòng)點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)。實(shí)部為零使其成為一個(gè)中心。 這表示掠食者與獵物族群規(guī)模呈現(xiàn)循環(huán)消長(zhǎng)，并且以此不動(dòng)點(diǎn)為中心來(lái)回震蕩。

飽和沃爾泰拉方程

飽和沃爾泰拉方程 3d 圖

飽和沃爾泰拉方程

飽和沃爾泰拉方程 xy 圖

d r d t = 2 ? ? --> r ( t ) ? ? --> α α --> ? ? --> r ( t ) ? ? --> f ( t ) 1 + s ? ? --> r ( t ) {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=2*r(t)-{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}} ;

d f d t = ? ? --> f ( t ) + α α --> ? ? --> r ( t ) ? ? --> f ( t ) 1 + s ? ? --> r ( t ) {\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-f(t)+{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}}

圖示當(dāng) α=0.01，s=0.001 時(shí)的飽和沃爾泰拉方程。

著名例子

加拿大的山貓（Lynx）與雪兔（Snowshoe Hare）數(shù)量消長(zhǎng)情形。

參見(jiàn)

洛特卡－沃爾泰拉種間競(jìng)爭(zhēng)方程

群體動(dòng)力學(xué)

生物數(shù)學(xué)

參考文獻(xiàn)

E. R. Leigh (1968) The ecological role of Volterra"s equations, in Some Mathematical Problems in Biology - a modern discussion using Hudson"s Bay Company data on lynx and hares in Canada from 1847 to 1903.

Understanding Nonlinear Dynamics. Daniel Kaplan and Leon Glass.

Vito Volterra. Variations and fluctuations of the number of individuals in animal species living together. In Animal Ecology . McGraw-Hill, 1931. Translated from 1928 edition by R. N. Chapman.

免責(zé)聲明：以上內(nèi)容版權(quán)歸原作者所有，如有侵犯您的原創(chuàng)版權(quán)請(qǐng)告知，我們將盡快刪除相關(guān)內(nèi)容。感謝每一位辛勤著寫(xiě)的作者，感謝每一位的分享。