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定義

給定一個向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 。 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一組 基 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是指 V {\displaystyle \mathrm {V} } 里面的可線性生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一個線性無關(guān)子集。 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 的元素稱為 基向量 。

更詳細(xì)來說，設(shè) B = { e 1 , e 2 , ? ? --> , e n } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}} 是在系數(shù)域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 實(shí)數(shù)如實(shí)數(shù)域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或復(fù)數(shù)域 C {\displaystyle \mathbb {C} } ）上的向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的有限子集。如果 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 滿足下列條件：

對任意 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ? ? --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，如果 λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ? ? --> + λ λ --> n e n = 0 {\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}=0} ，則必然 λ λ --> 1 = λ λ --> 2 = ? ? --> = λ λ --> n = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\cdots =\lambda _{n}=0} ；

對任意 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，可以選擇 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ? ? --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，使得 v = λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ? ? --> + λ λ --> n e n {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 。

就說 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一組 基 。第二個條件中，將一個向量 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } 表示成 λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ? ? --> + λ λ --> n e n {\displaystyle \lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 的形式，稱為向量 v {\displaystyle v} 在基底 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 下的分解。 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ? ? --> , λ λ --> n ) {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})} 稱為向量 v {\displaystyle v} 在基底 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 下的分量表示。

有有限基的向量空間叫做有限維的空間。要處理無限維的空間，必須把上述基的定義推廣為包括無限的基集合。如果向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一個子集 (有限或無限) B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 滿足：

它的所有有限子集 B ′ ? ? --> B {\displaystyle {\mathfrak {B}}"\subset {\mathfrak {B}}} 滿足上面的第一個條件（即線性無關(guān)）；

對任意 v ∈ ∈ --> V {\displaystyle v\in \mathrm {V} } ，可以選擇 ( λ λ --> 1 , λ λ --> 2 , ? ? --> , λ λ --> n ) ∈ ∈ --> F n {\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})\in \mathbb {F} ^{n}} ，以及 e 1 , e 2 , ? ? --> , e n ∈ ∈ --> B {\displaystyle e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\in {\mathfrak {B}}} ，使得 v = λ λ --> 1 e 1 + λ λ --> 2 e 2 + ? ? --> + λ λ --> n e n {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 。

就稱 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是無限維空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一組基。

沒有裝備拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的向量空間的結(jié)構(gòu)不足以談?wù)撓蛄康臒o限和，因此上述定義只包括對有限個向量求和。

性質(zhì)

設(shè) B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的子集。則 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是基，當(dāng)且僅當(dāng)滿足了下列任一條件：

V {\displaystyle \mathrm {V} } 是 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 的極小生成集，就是說只有 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 能生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } ，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。

B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中線性無關(guān)向量的極大集合，就是說 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中是線性無關(guān)集合，而且 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中沒有其他線性無關(guān)集合包含它作為真子集。

V {\displaystyle \mathrm {V} } 中所有的向量都可以按唯一的方式表達(dá)為 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的系數(shù)提供了這個向量關(guān)于這個基的坐標(biāo)。

如果承認(rèn)良序定理或任何選擇公理的等價物，那么作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數(shù)），叫做這個向量空間的維度。這個結(jié)果叫做維度定理，它要求系統(tǒng)承認(rèn)嚴(yán)格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

例子

考慮所有坐標(biāo) ( a , b )的向量空間 R ，這里的 a 和 b 都是實(shí)數(shù)。則非常自然和簡單的基就是向量 e 1 = (1,0)和 e 2 = (0,1):假設(shè) v = ( a , b )是 R 中的向量，則 v = a (1,0) + b (0,1)。而任何兩個線性無關(guān)向量如 (1,1)和(?1,2)，也形成 R 的一個基。

更一般的說，給定自然數(shù) n 。 n 個線性無關(guān)的向量 e 1 , e 2 , ..., e n 可以在實(shí)數(shù)域上生成 R 。因此，它們也是的一個基而 R 的維度是 n 。這個基叫做 R 的標(biāo)準(zhǔn)基。

設(shè) V 是由函數(shù) e 和 e 生成的實(shí)數(shù)向量空間。這兩個函數(shù)是線性無關(guān)的，所有它們形成了 V 的基。

設(shè) R [x]指示所有實(shí)數(shù)多項式的向量空間；則 (1, x, x , ...)是 R [x]的基。 R [x]的維度因此等于aleph-0。

基的擴(kuò)張

如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關(guān)集合，同時也是極小的生成集合?？梢宰C明，如果向量空間擁有一組基，那么每個線性無關(guān)的子集都可以擴(kuò)張成一組基（也稱為基的擴(kuò)充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關(guān)集合和任何生成集合之間有一組基。以數(shù)學(xué)語言來說：如果 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 是在向量空間 V {\displaystyle \mathrm {V} } 中的一個線性無關(guān)集合而集合 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 是一個包含 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 而且能夠生成 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的集合，則存在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一組基 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} ，它包含了 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} 而且是 G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} 的子集： L ? ? --> B ? ? --> G {\displaystyle {\mathfrak {L}}\subseteq {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {G}}} 。

以上兩個結(jié)論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關(guān)的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那么這個集合的元素個數(shù)必須等于維數(shù)，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關(guān)，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關(guān)的子集必然能擴(kuò)充成基；而這個集合的元素個數(shù)已經(jīng)等于基的元素個數(shù)，需要添加的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那幺元素個數(shù)必須少于原集合的元素個數(shù)。然而原集合的元素個數(shù)等于維數(shù)，也就是基的元素個數(shù)，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

有序基和坐標(biāo)

基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素并不按照順序排列。為了更方便相關(guān)的討論，通常會將基向量進(jìn)行排列。比如說將： B = { e 1 , e 2 , ? ? --> , e n } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}} 寫成有序向量組： ( e 1 , e 2 , ? ? --> , e n ) {\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})} 。這樣的有序向量組稱為 有序基 。在有限維向量空間和可數(shù)維數(shù)的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的數(shù)組表示，稱為向量的坐標(biāo)。例如，在使用向量的坐標(biāo)表示的時候習(xí)慣談?wù)摗暗谝粋€”或“第二個”坐標(biāo)，這只在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的坐標(biāo)架。

設(shè) V {\displaystyle \mathrm {V} } 是在域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的 n 維向量空間。在 V {\displaystyle \mathrm {V} } 上確定一個有序基等價于確定一個從坐標(biāo)空間 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 到 V {\displaystyle \mathrm {V} } 的一個選定線性同構(gòu) ? ? --> {\displaystyle \phi } 。

證明 ：這個證明利用了 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 的標(biāo)準(zhǔn)基是有序基的事實(shí)。

首先假設(shè)

其中的 { e i } 1 ? ? --> i ? ? --> n {\displaystyle \{e_{i}\}_{1\leqslant i\leqslant n}} 是 F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} 的標(biāo)準(zhǔn)基。

反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的映射

這里的 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + x n e n 是 F 的一個元素。不難檢查出 φ 是線性同構(gòu)。

這兩個構(gòu)造明顯互逆。所以 V 的有序基一一對應(yīng)于線性同構(gòu) F → V 。

確定自有序基{ v i }線性映射 φ 的逆映射為 V 裝備了坐標(biāo)：如果對于向量 v ∈ V , φ ( v ) = ( a 1 , a 2 ,..., a n ) ∈ F ，則 a j = a j ( v )的分量是 v 的坐標(biāo)，在 v = a 1 ( v ) v 1 + a 2 ( v ) v 2 + ... + a n ( v ) v n 的意義上。

從向量 v 到分量 a j ( v )的映射是從 V 到 F 的線性映射，因為 φ 是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成 V 的 對偶空間 的基，叫做 對偶基 。

概念

有時使用術(shù)語 Hamel基 （或 代數(shù)基 ）來稱呼上文定義的基，這里在線性組合 a 1 v 1 +… + a n v n 中項的數(shù)目總是有限的。

在希爾伯特空間和其他巴拿赫空間中，需要處理無限多向量的線性組合。在無限維的希爾伯特空間中，相互正交的向量的集合可能永不能通過有限線性組合擴(kuò)展出整個空間。所謂的正交基是通過有時無限的線性組合擴(kuò)展出這個空間的相互正交的單位向量的集合。除了在有限維情況之外，這個概念不純粹是代數(shù)的，而區(qū)別于Hamel基；它也是更一般性有用的?！盁o限維希爾伯特空間的正交基因此不是Hamel基”。

在拓?fù)湎蛄靠臻g中，一般的說，可以定義為無窮級數(shù)并表達(dá)這個空間的元素為其他特定元素的“無限線性組合”。其中的有限和無限組合的基，前者被叫做“Hamel基”而后者被叫做“ Schauder基 （ 英語 ： Schauder basis ） ”，對應(yīng)的維度叫做 Hamel維度 和“Schauder維度”。

例子

在傅立葉級數(shù)的研究中，函數(shù){1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }是所有的在區(qū)間[0, 2π]上為平方可積分的（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)值）的函數(shù)的（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）向量空間的“正交基”，這種函數(shù) f 滿足

函數(shù){1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }是線性無關(guān)的，所有在[0, 2π]上平方可積分的函數(shù) f 是它們的“無限線性組合”，在如下意義上

對于適合的（實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)）系數(shù) a k , b k 。但是多數(shù)平方可積分函數(shù)不能表達(dá)為這些基函數(shù)的有限線性組合，因為它們不構(gòu)成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大于這個函數(shù)的只可數(shù)無限集合。此類空間的Hamel基沒有什么價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

參見

線性代數(shù)

線性組合

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