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例子

若

則

基本評(píng)注

如果A的元素是實(shí)數(shù)，那么A與A的轉(zhuǎn)置A相等。把復(fù)值方塊矩陣視為復(fù)數(shù)的推廣，以及把共軛轉(zhuǎn)置視為共軛復(fù)數(shù)的推廣通常是非常有用的。

元素為aij{\displaystyle a_{ij}}的方塊矩陣A稱為：

埃爾米特矩陣或自伴矩陣，如果A = A，也就是說，aij=aji? ? -->{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}} ；

斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣，如果A = ?A，也就是說，aij=? ? -->aji? ? -->{\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}^{*}} ；

正規(guī)矩陣，如果AA = AA。

即使A不是方塊矩陣，AA和AA仍然是埃爾米特矩陣和半正定矩陣。

性質(zhì)

(A + B) = A + B。

(rA) = rA，其中r為復(fù)數(shù)，r為r的復(fù)共軛。

(AB) = BA，其中A為m行n列的矩陣，B為n行p列矩陣。

(A) = A

若A為方陣，則det(A) = (det A)，且tr(A) = (tr A)

A是可逆矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A可逆，且有(A) = (A).

A的特征值是A的特征值的復(fù)共軛。

= ，其中A為m行n列的矩陣，復(fù)向量x為n維列向量，復(fù)向量y為m維列向量，為復(fù)數(shù)的內(nèi)積。

推廣

從上面給出的最后一個(gè)性質(zhì)可以推出，如果我們把A視為從希爾伯特空間C到C的線性變換，則矩陣A對(duì)應(yīng)于A的自伴算子。于是，希爾伯特空間之間的自伴算子可以視為矩陣的共軛轉(zhuǎn)置的推廣。

還可以進(jìn)行另外一種推廣：假設(shè)A是一個(gè)從復(fù)值向量空間V到W的線性映射，那么可以定義復(fù)共軛線性映射和線性映射的轉(zhuǎn)置，并可以取A的共軛轉(zhuǎn)置為A的轉(zhuǎn)置的共軛復(fù)數(shù)。它把W的共軛對(duì)偶映射到V的共軛對(duì)偶。

埃爾米特伴隨

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