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舉例

3=1.73205080? ? -->{\displaystyle {\sqrt {3}}=1.73205080\cdots }

log10? ? -->3=0.47712125? ? -->{\displaystyle \log _{10}3=0.47712125\cdots }

π π -->=3.141592653589793238462643383279502884? ? -->{\displaystyle \pi =3.141592653589793238462643383279502884\cdots }

e=2.71828182845904523536? ? -->{\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots }

2=1.41421356? ? -->{\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356\cdots }

性質

無理數加或減有理數必得無理數。

無理數乘不等于0的有理數必得無理數。

不知是否是無理數的數

π π -->+e{\displaystyle \pi +e\,}、π π -->? ? -->e{\displaystyle \pi -e\,}等，事實上，對于任何非零整數m{\displaystyle m\,}及n{\displaystyle n\,}，不知道m(xù)π π -->+ne{\displaystyle m\pi +ne\,}是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π π -->+(? ? -->π π -->){\displaystyle \pi +(-\pi )}、2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}等除外。

我們亦不知道2e{\displaystyle 2^{e}\,}、π π -->e{\displaystyle \pi ^{e}\,}、π π -->2{\displaystyle \pi ^{\sqrt 歐拉}}}、歐拉-馬歇羅尼常數γ γ -->{\displaystyle \gamma \,}或卡塔蘭常數G{\displaystyle G}是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集（因有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是個不完備的拓撲空間，它是與所有正數數列的集拓撲同構的，當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而貝爾綱定理可以應用在無數間的拓撲空間上。

無理化作連分數的表達式

選取一個正的實數ρ ρ -->{\displaystyle \rho \,}使得

經由遞回處理

一些無理數的證明

證明2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是無理數

證：

假設2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是有理數，并且令2=pq{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}，pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}是最簡分數。由于2{\displaystyle {\sqrt {2}}}不是整數，所以|q|{\displaystyle \left|q\right|}≠ ≠ -->1{\displaystyle \neq 1}。

將兩邊平方，得到2=p2q2{\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}，

因為pq{\displaystyle {\frac {p}{q}}}是最簡分數，所以p2q2{\displaystyle {\frac {p^{2}}{q^{2}}}}也是最簡分數。

2{\displaystyle 2}的最簡分數只能夠是21{\displaystyle {\frac {2}{1}}}，由此得出q=1{\displaystyle q=1}，這與|q|{\displaystyle \left|q\right|}≠ ≠ -->1{\displaystyle \neq 1}矛盾。

所以假設不成立，2{\displaystyle {\sqrt {2}}}是無理數。

證明2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是無理數

證：

假設2+3=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p}是有理數，兩邊平方得到

5+26=p2? ? -->6=p2? ? -->52{\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}={\frac {p^{2}-5}{2}}}

其中因為p{\displaystyle p}是有理數，所以p2? ? -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}也是有理數。

透過證明a{\displaystyle {\sqrt {a}}}為無理數的方法，其中a{\displaystyle {a}}為一整數

可以證明6{\displaystyle {\sqrt {6}}}是無理數

同樣也推出p2? ? -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是無理數

但這又和p2? ? -->52{\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}}是有理數互相矛盾

所以2+3{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}是一無理數

證明2+3+5{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}是無理數

證：

同樣，假設2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理數，兩邊平方后得到

10+26+210+215=p2? ? -->6+10+15=p2? ? -->102{\displaystyle 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}-10}{2}}}，

于是6+10+15{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理數。兩邊再次平方，得：

31+106+610+415=(p2? ? -->10)24{\displaystyle 31+10{\sqrt {6}}+6{\sqrt {10}}+4{\sqrt {15}}={\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}}，

于是56+310+215=(p2? ? -->10)28? ? -->312{\displaystyle 5{\sqrt {6}}+3{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}

由于6+10+15{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}}是有理數，所以

36+10+2(6+10+15)=(p2? ? -->10)24? ? -->312{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}}

? ? -->36+10=(p2? ? -->10)24? ? -->312? ? -->2(6+10+15){\displaystyle \Rightarrow 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}

透過證明形如a+b{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt }}的數是無理數的方法，得出36+10{\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}}也是一無理數

但這結果明顯和(p2? ? -->10)28? ? -->312{\displaystyle {\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}}與2(6+10+15){\displaystyle 2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})}皆為有理數出現矛盾，故2+3+5{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}為無理數

另一種證明：

同樣假設2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}是有理數，

2+3+5=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p}

? ? -->2+3=p? ? -->5{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p-{\sqrt {5}}}，兩邊平方：

? ? -->(2+3)2=(p? ? -->5)2{\displaystyle \Rightarrow ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}=(p-{\sqrt {5}})^{2}}

? ? -->5+26=p2+5? ? -->2p5{\displaystyle \Rightarrow 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{\sqrt {5}}}

? ? -->2(6+p5)=p2{\displaystyle \Rightarrow 2({\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}})=p^{2}}

透過證明形如a+b{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt }}的數是無理數的方法，得出6+p5{\displaystyle {\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}}}是一無理數

也是矛盾的。

證明2+3+5+7{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}是無理數

證：

2+3+5+7=p{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}=p}

? ? -->2+3+5=p? ? -->7{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p-{\sqrt {7}}}，兩邊平方得到：

? ? -->10+26+210+215=p2+7? ? -->2p7{\displaystyle \Rightarrow 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{\sqrt {7}}}

? ? -->6+10+15+p7=p22? ? -->32{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}}，得到6+10+15+p7{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}為一有理數

? ? -->6+10+15=p22? ? -->32? ? -->p7{\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}}，兩邊繼續(xù)平方：

? ? -->(6+10+15)2=(p2? ? -->32? ? -->p7)2{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}\right)^{2}}

? ? -->(6+10+15)2=[(p2? ? -->32)? ? -->p7]2{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}}

? ? -->31+260+290+2150=(p2? ? -->32)2+(? ? -->p7)2? ? -->2× × -->p7× × -->(p2? ? -->32){\displaystyle \Rightarrow 31+2{\sqrt {60}}+2{\sqrt {90}}+2{\sqrt {150}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+(-p{\sqrt {7}})^{2}-2\times {p}{\sqrt {7}}\times \left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)}

? ? -->31+415+610+106=(p2? ? -->32)2+7p2? ? -->p(2p2? ? -->3)7{\displaystyle \Rightarrow 31+4{\sqrt {15}}+6{\sqrt {10}}+10{\sqrt {6}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}

? ? -->210+66+p(2p2? ? -->3)7=(p2? ? -->32)2+7p2? ? -->4(6+10+15+p7)? ? -->31{\displaystyle \Rightarrow 2{\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}

由于6+10+15+p7{\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}}，p{\displaystyle p}皆為有理數

設10+66+p(2p2? ? -->3)7=q=(p2? ? -->32)2+7p2? ? -->4(6+10+15+p7)? ? -->31{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=q=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31}，q{\displaystyle q}亦為有理數

透過證明形如a+b+c{\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt }+{\sqrt {c}}}的數是無理數的方法，可知10+66+p(2p2? ? -->3)7{\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}}為無理數

這和q{\displaystyle q}是有理數沖突

所以得證2+3+5+7{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}}為一無理數

參見

分劃

丟番圖逼近

3的算術平方根

5的算術平方根

超越數

第一次數學危機

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