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方程的推導(dǎo)

表達(dá)式的證明

如右圖，設(shè)最低點(diǎn)A{\displaystyle A}處受水平向左的拉力H{\displaystyle H}，右懸掛點(diǎn)處表示為C{\displaystyle C}點(diǎn)，在AC{\displaystyle AC}弧線區(qū)段任意取一段設(shè)為B{\displaystyle B}點(diǎn)，則B受一個(gè)斜向上的拉力T{\displaystyle T}，設(shè)T{\displaystyle T}和水平方向夾角為θ θ -->{\displaystyle \theta }，繩子的質(zhì)量為m{\displaystyle m},受力分析有： 注釋 注釋

Tsin? ? -->θ θ -->=mg{\displaystyle T\sin \theta =mg}；

Tcos? ? -->θ θ -->=H{\displaystyle T\cos \theta =H}，

tanθ θ -->=dydx=mgH{\displaystyle tan\theta ={\frac {\mathrm nyygvrz y}{\mathrm xkm2vwh x}}={\frac {mg}{H}}}，

mg=ρ ρ -->s{\displaystyle mg=\rho s}，　其中s{\displaystyle s}是右段AB{\displaystyle AB}繩子的長(zhǎng)度，ρ ρ -->{\displaystyle \rho }是繩子線重量密度，代入得微分方程dydx=ρ ρ -->sH{\displaystyle {\frac {\mathrm 4v76oq2 y}{\mathrm 7be0yrz x}}={\frac {\rho s}{H}}};利用弧長(zhǎng)公式ds=1+dy2dx2dx{\displaystyle \mathrm jnp2rmp s={\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm sd1ocuw y^{2}}{\mathrm u8rgoyj x^{2}}}}}\mathrm aeih13m x};所以s=∫ ∫ -->1+dy2dx2dx{\displaystyle s=\int {\sqrt {1+{\dfrac {\mathrm 4j1z1us y^{2}}{\mathrm jxhj5ja x^{2}}}}}\mathrm pj2egff x};

所以把s{\displaystyle s}代入微分方程得dydx=ρ ρ -->∫ ∫ -->1+dy2dx2dxH ? ? -->? ? --> (1){\displaystyle {\frac {\mathrm qun06fy y}{\mathrm 4gcg2vg x}}=\rho \int {\sqrt {1+{\frac {\mathrm 9iciw4g y^{2}}{\mathrm 4vj9aa6 x^{2}}}}}{\frac {\mathrm xtenlmj x}{H}}\ \cdots \cdots \ (1)}

對(duì)于(1){\displaystyle (1)}設(shè)p=dydx{\displaystyle p={\frac {\mathrm k163yqu y}{\mathrm t8wb8at x}}}微分處理

得 p′=ρ ρ -->H1+p2 ? ? -->? ? --> (2){\displaystyle p"={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)}

p′=dpdx=d2ydx2{\displaystyle p"={\frac {\mathrm ehlay4j p}{\mathrm qe5iis0 x}}={\frac {\mathrm 8scc8e2 ^{2}y}{\mathrm 7dxertl x^{2}}}};

對(duì)(2)分離常量求積分

∫ ∫ -->dp1+p2=∫ ∫ -->ρ ρ -->dxH{\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int {\frac {\rho dx}{H}}}

得ln(p+1+p2)=ρ ρ -->x+CH{\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})={\frac {\rho x+C}{H}}}，即asinhp（反雙曲正弦）=ρ ρ -->x+CH{\displaystyle {\frac {\rho x+C}{H}}}

當(dāng)x=0時(shí)，dydx=p=0{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0}；帶入得C=0；

整理得asinhp=ρ ρ -->xH{\displaystyle {\frac {\rho x}{H}}} 另詳解：（ln? ? -->[p+1+p2]=ρ ρ -->xH{\displaystyle \ln[p+{\sqrt {1+p^{2}}}]={\frac {\rho x}{H}}}）；

p=sh(ρ ρ -->xH){\displaystyle p=sh({\frac {\rho x}{H}})}（1+p2=e2ρ ρ -->xH? ? -->2peρ ρ -->xH+p2{\displaystyle 1+p^{2}=e^{\frac {2\rho x}{H}}-2pe^{{\frac {\rho }{x}}{H}}+p^{2}}）；

(p=[e(ρ ρ -->xH)? ? -->e(? ? -->ρ ρ -->xH)]/2=dydx{\displaystyle p=[e^{(}{\frac {\rho x}{H}})-e^{(}-{\frac {\rho x}{H}})]/2={\frac {dy}{dx}}})；

y=ch(ρ ρ -->xH)H÷ ÷ -->ρ ρ -->{\displaystyle y=ch({\frac {\rho x}{H}})H\div \rho }（y=H2ρ ρ -->eρ ρ -->xH+eρ ρ -->xH]{\displaystyle y={\frac {H}{2\rho }}e^{\frac {\rho x}{H}}+e^{\frac {\rho x}{H}}]}）；

令a=(Hρ ρ -->){\displaystyle a=({\frac {H}{\rho }})}： y=a? ? -->cosh(xa){\displaystyle y=a*cosh({\frac {x}{a}})}

(y=a[e(x/a)+e(? ? -->x/a)]/(2)=a? ? -->cosh(x/a)){\displaystyle (y=a[e^{(x/a)}+e^{(-x/a)}]/(2)=a*cosh(x/a))}。

工程中的應(yīng)用

懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應(yīng)用，a{\displaystyle a}稱作懸鏈系數(shù)。如果我們改變公式的寫法，會(huì)給工程應(yīng)用帶來很大幫助，公式及圖像如下：

還有以下幾個(gè)公式，可能也有用：

其中L{\displaystyle L}是曲線中某點(diǎn)到0點(diǎn)的鏈索長(zhǎng)度，α α -->{\displaystyle \alpha }是該點(diǎn)的正切角，F(xiàn)0{\displaystyle F_{0}}是0點(diǎn)處的水平張力，γ γ -->{\displaystyle \gamma }是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計(jì)算出任意點(diǎn)的張力。

參見

曳物線

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