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歷史

更多資料：自然數(shù)#歷史與0的定性

在木頭、骨頭或石頭上的計數(shù)符號從史前時代就開始被使用了。石器時代的文化，包括古代印第安人，使用計數(shù)符號進行賭博、私人服務和交易。

在公元前8000年至前3500年間，蘇美爾人發(fā)明了使用粘土保留數(shù)字信息。他們的做法是將各種形狀的小的粘土記號像珠子一樣串在一起。從大約前3500年開始，粘土記號逐漸被數(shù)字符號取代。這些數(shù)字符號是使用圓的筆針刻在粘土塊上，然后燒制而成的。大約前3100年，數(shù)字符號與被計數(shù)的事物分離，成為抽象的符號。在前2700年至前2000年間，圓的筆針逐漸被一種尖的筆針取代，這種筆針可以在粘土上刻出楔形符號。這種楔形數(shù)字和圓形數(shù)字相似，并保留了符號數(shù)值記數(shù)法。這些記數(shù)系統(tǒng)逐漸演變成了一種常見的六十進制系統(tǒng)。這個系統(tǒng)是一種位置數(shù)值記數(shù)法，只使用豎向的楔形和人形兩種符號，而且能夠表示分數(shù)。這個系統(tǒng)在古巴比倫的初期（大約前1950年）得到了充分的發(fā)展，并成為巴比倫尼亞的標準。

上述六十進制系統(tǒng)是一種混合進位制系統(tǒng)，它的一個符號序列的不同位置上使用10和6兩個基數(shù)。這個系統(tǒng)被廣泛地應用于商業(yè)，同時也在天文學和其他計算中被使用。這個系統(tǒng)從巴比倫尼亞輸出，并傳遍了美索不達米亞，包括希臘，羅馬和埃及。今天，我們?nèi)匀挥盟鼇碛嬎銜r間（1小時=60分鐘）和角度（1度=60分）。

中國古代采用算籌記數(shù)，個位百位萬位等奇數(shù)位用縱籌，偶數(shù)位用橫籌，零用空位表示。有時，軍隊人數(shù)和供給品記數(shù)采用質(zhì)數(shù)的算籌，并按照模算術運算。（參看：大衍求一術，中國剩余定理）。模算術的好處在于，盡管其加法相對困難，但乘法很容易。這使得模算術很適合軍需品的計算。在現(xiàn)代，同樣的模算術有時用于數(shù)字信號處理。

羅馬帝國使用臘、紙草、和石頭上的割符，大致遵從希臘人將字母對應不同數(shù)的習慣。羅馬數(shù)字在歐洲被普遍使用，直到1500年代進位制開始流行。

中美洲的瑪雅數(shù)字采用20或18為基數(shù)的系統(tǒng)，可能繼承自奧爾梅克文明，它包含了位置數(shù)值記數(shù)法和零這樣的高級屬性。他們將此用于高級的天文計算，包括高精度的太陽年長度和金星軌道的計算。

印加帝國采用奇普，一種打結(jié)的帶顏色的繩子來記數(shù)。關于使用結(jié)和顏色來編碼的知識被西班牙征服者于16世紀所擯棄，并因此失傳。今天，簡單的結(jié)繩工具仍在安地斯山脈地區(qū)使用。

有些權威認為數(shù)位算術隨著中國的算盤的廣泛使用而開始。最早的書面數(shù)位記錄似乎是大約400年的算盤計算的結(jié)果。特別在大約932年，零已被中國數(shù)學家正確地表述了，并且似乎是因為采用一個圓圈表示沒有算盤珠子的那一位而產(chǎn)生的。

在印度，現(xiàn)代數(shù)位數(shù)字系統(tǒng)被傳給阿拉伯人。可能是和天文表格一起，這一系統(tǒng)被一位印度大使在約773年帶到巴格達。對于印度的數(shù)字系統(tǒng)的詳細討論，參看阿拉伯數(shù)字和印度數(shù)字。

從印度出發(fā)，蘇丹們和非洲的旺盛貿(mào)易將此數(shù)字系統(tǒng)的概念帶到了開羅。阿拉伯數(shù)學家們將此系統(tǒng)推廣到十進制分數(shù)。在9世紀，花拉子密寫下了關于該系統(tǒng)的重要著作。隨著12世紀該著作在西班牙被翻譯和斐波那契的《計算書》在1201年的出版，該系統(tǒng)傳入歐洲。在歐洲，完整的帶零的印度系統(tǒng)是于12世紀由阿拉伯人帶來的。

二進制系統(tǒng)由萊布尼茲在17世紀傳播，萊布尼茲在他工作的早期形成了這一概念，并在閱讀中國的《易經(jīng)》再次鞏固了這一想法。由于計算機的使用，二進制系統(tǒng)在20世紀變得更加普遍。

常用基數(shù)

十

十進制是今天最為常用的系統(tǒng)。它被視為因為人類具有十根手指而產(chǎn)生。

二十

瑪雅文明和其它前哥倫布時期中美洲文明使用二十進制、因努伊特的因努伊特數(shù)字，可能是源于人的手指和腳趾總數(shù)。

八

基數(shù)8的系統(tǒng)（八進制）是北加利福尼亞的Yuki部落設計的，他們使用了手指間的間隔來數(shù)數(shù)。也有語言學證據(jù)顯示青銅時代印歐人（多數(shù)歐洲和印度語言來源于此）可能用基數(shù)10的系統(tǒng)取代了基數(shù)8系統(tǒng)（或者一個只能數(shù)到8的系統(tǒng)）。證據(jù)是代表9的詞， newm ，根據(jù)一些歷史學家推測來源于“新”（"new", newo- ），這表示數(shù)字9是當時最近發(fā)明的，所以稱為‘新數(shù)’（"new number"） (Mallory & Adams 1997年)。

九

涅涅茨語曾經(jīng)使用基數(shù)9的系統(tǒng)（九進制），但在俄語的影響下轉(zhuǎn)變?yōu)槭M制。 yúq 一詞最初表示9，但在俄語影響下變成了10的意思；所以在現(xiàn)在的涅涅茨，9現(xiàn)在是 xasu-yúq ，也就是“涅涅茨 yúq ”，而10就是 yúq ，但在東部方言中也作 lúca-yúq , 也就是“俄語 yúq ”。

十二

基數(shù)12的系統(tǒng)（十二進制）曾經(jīng)很流行，因為乘法和除法比十進制方便，而加法同樣簡單。12很有用，因為它有很多因子。它是1到4最小的公倍數(shù)。我們對十二有一個特殊的詞“打”( dozen )，并且使用12小時作為一個白天或者一個黑夜。十二進制可能來自于一只手除了拇指以外的四個手指的指節(jié)個數(shù)，它們曾被用來記數(shù)。

六十

基數(shù)為60的系統(tǒng)(六十進制)是蘇美爾人和他們在美索不達米亞的繼承者所使用的，今天還在我們的計時系統(tǒng)中存在（所以一小時有60分鐘而一分鐘有60秒）。60也有大量因子，包括前六個自然數(shù)。六十進制系統(tǒng)被認為是因為十進制和十二進制合并過程中產(chǎn)生的。中國歷法中，六十進制的甲子系統(tǒng)用于表示年，每個60年循環(huán)中的年用兩個符號代表，第一個符號是十進制的天干，第二個符號是十二進制的地支。兩個符號在后續(xù)一年中同時前進一，這樣同樣的組合在60年后再現(xiàn)。該系統(tǒng)的第二個符號也和12個動物的生肖系統(tǒng)對應。

二

基數(shù)為2的系統(tǒng)（二進制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發(fā)明。以2為基數(shù)，也代表只有兩種變化：不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態(tài)：開（1）及關（0），并以此引伸作各種復雜的邏輯變化。而現(xiàn)今二進制亦普遍使用于數(shù)碼影音系統(tǒng)中。

十六

基數(shù)為16的系統(tǒng)（十六進制）曾經(jīng)在中國的重量單位上使用過，比如，規(guī)定16兩為一斤。現(xiàn)在的16進制則普遍應用在電腦領域，這是因為將二進制數(shù)字轉(zhuǎn)化為十六進制數(shù)字非常容易，用十六進制表達數(shù)字比用二進制方便。1字節(jié)（一個8個位的二進制數(shù)字）可以很方便的表示成一個兩個位的16進制數(shù)字。

進位制詳解

更多資料：位置記法

在基數(shù) b 的位置記數(shù)系統(tǒng)(其中 b 是一個正自然數(shù)，叫做基數(shù))， b 個基本符號(或者叫數(shù)字)對應于包括0的最小 b 個自然數(shù)。 要產(chǎn)生其他的數(shù)，符號在數(shù)中的位置要被用到。最后一位的符號用它本身的值，向左一位其值乘以 b 。

例如，在十進制系統(tǒng)中（基數(shù)10），數(shù)4327表示( 4 ×10 ) + ( 3 ×10 ) + ( 2 ×10 ) + ( 7 ×10 )，注意10 = 1。

一般來講，若 b 是基底，我們在 b 進制系統(tǒng)中的數(shù)表示為 a 1 b + a 2 b + a 3 b + ... + a k+1 b 的形式，并按次序?qū)懴聰?shù)字 a 1 a 2 a 3 ... a k+1 。這些數(shù)字是0到 b -1的自然數(shù)。

若一段文字（譬如這段文字）討論多個基數(shù)，若有歧義時，基數(shù)(本身用十進制表示）用下標方式寫在數(shù)的右邊。除非有上下文說明，沒有下標的數(shù)字視為十進制。 通過使用一點（小數(shù)點）來將數(shù)字分成兩組，就可以用位置系統(tǒng)來表示小數(shù)。例如，基數(shù)-2系統(tǒng)10.11表示1×2 + 0×2 +1×2 +1×2 = 2.75。

一般來講， b 進制系統(tǒng)中的數(shù)有如下形式：

數(shù)b 和b 是相應數(shù)字的 比重。

注意有一個數(shù)有一個終止或者循環(huán)當且僅當它是有理數(shù)；這不依賴于基數(shù)的選擇。在一個進制中終止的數(shù)可以在另外一個有循環(huán)小數(shù)(thus 0.3 10 = 0.0100110011001... 2 )。一個無理數(shù)在所有進制中不循環(huán)(無窮位不循環(huán)數(shù)字)。這樣，例如二進制中，π= 3.1415926... 10 可以寫作不循環(huán)的11.001001000011111... 2 。

若 b = p 是一個質(zhì)數(shù)，可以定義其向左的擴展不停止的 p 進制數(shù)字；這些數(shù)字稱為p進數(shù)(p-adic)。

進制轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)換正整數(shù)的進制的有一個簡單算法，就是通過用目標基數(shù)作長除法；余數(shù)給出從最低位開始的“數(shù)字”。例如，1020304從10進制轉(zhuǎn)到7進制：

再如，10110111 從2進制到5進制：

轉(zhuǎn)換一個“十進制”小數(shù)，可以用重復乘法，將整數(shù)部分作為“數(shù)字”。不幸的是有限小數(shù)不一定轉(zhuǎn)換成為有限小數(shù)，例如0.1A4C從16進制轉(zhuǎn)換到9進制：

一般化變長整數(shù)

更一般化的有一種記法(這里寫作小頭式)，例如 a 0 a 1 a 2 用作 a 0 + a 1 b 1 + a 2 b 1 b 2 , etc.

參看

計算機數(shù)字格式

數(shù)量級 (數(shù))

減法式記法

德尼數(shù)字 – 虛構的數(shù)字系統(tǒng)，來自電子游戲系列 神秘島

結(jié)繩記數(shù) 印加數(shù)字系統(tǒng)

巴比倫數(shù)字– 六十進制系統(tǒng)

黃金分割基數(shù)

參看

數(shù)

十進制

參考

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley, 1999. ISBN 0-471-37568-3

高德納. 《計算機程序設計藝術》. Volume 2, 3rd Ed.Addison-Wesley. pp.194–213, "Positional Number Systems".

J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture , Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.

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