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直覺概述

有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定聯(lián)系的點(diǎn)所成的集合。其一是平移，它意味著移動(dòng)這個(gè)平面就使得所有點(diǎn)都以相同方向移動(dòng)相同距離。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個(gè)基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個(gè)圖形變換成另一個(gè)圖形，平面的兩個(gè)圖形（也就是子集）應(yīng)被認(rèn)為是等價(jià)的（全等）。（參見歐幾里得群）。

為了使這些在數(shù)學(xué)上精確，必須明確定義距離、角、平移和旋轉(zhuǎn)的概念。標(biāo)準(zhǔn)方式是定義歐幾里得平面為裝備了內(nèi)積的二維實(shí)數(shù)的向量空間。有著:

在這個(gè)向量空間中的向量對應(yīng)于在歐幾里得平面中的點(diǎn)，

在向量空間中的加法運(yùn)算對應(yīng)于平移，

內(nèi)積蘊(yùn)涵了角和距離的概念，它可被用來定義旋轉(zhuǎn)。

一旦歐幾里得平面用這種語言描述了，擴(kuò)展它的概念到任意維度就是簡單的事情了。對于大多數(shù)部分，詞匯、公式、和計(jì)算對更高維的出現(xiàn)不造成任何困難。（但是，旋轉(zhuǎn)在高維中是非常微妙，而高維空間的可視化仍很困難，即使對有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家也一樣）。

歐幾里得空間的最后問題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上仿射空間。直覺上，區(qū)別在于對于原點(diǎn)應(yīng)當(dāng)位于這個(gè)空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因?yàn)樗梢缘教幰苿?dòng)。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。

實(shí)數(shù)坐標(biāo)空間

以 R {\displaystyle \mathbb {R} } 表示實(shí)數(shù)域。對任意一個(gè)正整數(shù)n，實(shí)數(shù)的n元組的全體構(gòu)成了 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的一個(gè)n維向量空間，用 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 來表示。有時(shí)稱之為 實(shí)數(shù)坐標(biāo)空間 。

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的元素寫作 X = ( x 1 , x 2 , ? ? --> , x n ) {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} ，這里的 x i {\displaystyle x_{i}} 都是實(shí)數(shù)。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 作為向量空間，其運(yùn)算是這樣定義的：

通常引入實(shí)數(shù)坐標(biāo)空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的標(biāo)準(zhǔn)基：

于是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中任意的向量可以表示成下面的形式：

n維實(shí)數(shù)坐標(biāo)空間是實(shí)n維向量空間的原型。事實(shí)上，每一個(gè)n維向量空間 V {\displaystyle V\ } 都可以看作實(shí)數(shù)坐標(biāo)空間—— V {\displaystyle V\ } 與 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 是同構(gòu)的（isomorphic）。不過這個(gè)同構(gòu)不是正則（Canonical）的，每個(gè)同構(gòu)的選擇都相當(dāng)于在 V {\displaystyle V\ } 中選擇了一組基（即 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)基在 V {\displaystyle V\ } 中的同構(gòu)像）。我們有時(shí)候只著眼于任意n維向量空間而不是具體的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ，這是因?yàn)椴幌Ｍ麨樽鴺?biāo)的概念所束縛（即，有時(shí)候不必選擇 V {\displaystyle V\ } 中特定的一組基）。

歐幾里得結(jié)構(gòu)

至于歐幾里得空間，則是在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上再添加一些內(nèi)容：歐幾里得結(jié)構(gòu)。 為了做歐氏幾何，人們希望能討論兩點(diǎn)間的距離，直線或向量間的夾角。一個(gè)自然的方法是在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上，對任意兩個(gè)向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } 、 y {\displaystyle \mathbf {y} } ，引入它們的“標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積” {\displaystyle } （一些文獻(xiàn)上稱為點(diǎn)積，記為 x ? ? --> y {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} } ）：

也就是說， R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的任意兩個(gè)向量對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)值。 我們把 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 及這樣定義的內(nèi)積，稱為 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的 歐幾里得結(jié)構(gòu) ；此時(shí)的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 也被稱為n維歐幾里得空間，內(nèi)積""稱為 歐氏內(nèi)積 。

利用這個(gè)內(nèi)積，可以建立距離、長度、角度等概念：

向量 x {\displaystyle \mathbf {x} } 的長度：

這里的長度函數(shù)滿足范數(shù)所需的性質(zhì)，故又稱為 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的 歐氏范數(shù) 。

x {\displaystyle \mathbf {x} } 和 y {\displaystyle \mathbf {y} } 所夾的 內(nèi)角 以下列式子給出

這里的 cos ? ? --> 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} 為反余弦函數(shù)。

最后，可以利用歐氏范數(shù)來定義 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的 距離函數(shù) ，或稱 度量 ：

這個(gè)距離函數(shù)稱為歐幾里得度量，它可以看作勾股定理一種形式。

這里的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 僅指實(shí)數(shù)向量空間，而加入了如上定義的歐幾里得結(jié)構(gòu)后才稱為 歐氏空間 ；有些作者會(huì)用符號 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 來標(biāo)記之。歐氏結(jié)構(gòu)使 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 具有這些空間結(jié)構(gòu)：內(nèi)積空間、希爾伯特空間、賦范向量空間以及度量空間。

歐氏拓?fù)?

因?yàn)闅W氏空間是一個(gè)度量空間，因此也是一個(gè)具有由度量推導(dǎo)出的自然拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g。 E n {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} 上的度量拓?fù)浔环Q為是歐氏拓?fù)洹W氏拓?fù)渲械募情_的當(dāng)且僅當(dāng)它包含了該集的每一點(diǎn)周邊的開球?？梢宰C明，歐氏拓?fù)涞葍r(jià)于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的積拓?fù)洹?/span>

關(guān)于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上拓?fù)涞囊粋€(gè)并不淺顯易懂的重要結(jié)論是，魯伊茲·布勞威爾的區(qū)域不變性。任意 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集（以及其子拓?fù)洌┡c另外一個(gè) R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集同胚的話，那么這個(gè)子集自己是開的。這個(gè)結(jié)果的一個(gè)直接的結(jié)論就是 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 與 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 不同胚，當(dāng) m ≠ ≠ --> n {\displaystyle m\neq n} 。

與流形的關(guān)系

在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，歐幾里得空間形成了其他更加復(fù)雜的幾何對象的原型。特別是流形，它是邏輯上同胚于歐幾里得空間的豪斯多夫拓?fù)淇臻g。

n {\displaystyle n} 維歐氏空間是n維流形的典型例子，事實(shí)上也就是光滑流形。對于 n ≠ ≠ --> 4 {\displaystyle n\neq 4} ，任意與 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 同胚的可微n維流形，也是微分同胚的。值得驚奇的結(jié)果是，19西蒙·唐納森唐納森證明了對于 n = 4 {\displaystyle n=4} 的情況不成立；其反例被稱為是怪 R 。

歐氏空間也被理解為 線性流形 。一個(gè) R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的m維線性子流形是一個(gè)（作為仿射空間）嵌入其中的m維歐氏空間。例如，任意高維（ n > 1 {\displaystyle n>1} ）歐氏空間中的任意直線是該空間中的一個(gè)1維線性子流形。

一般的說，流形的概念包含了歐幾里得幾何和非歐幾里得幾何二者。在這個(gè)觀點(diǎn)上，歐幾里得空間的根本性質(zhì)為它是平坦的，也就是非彎曲的?，F(xiàn)代物理學(xué)特別是相對論，展示我們的宇宙不是真正的歐幾里得時(shí)空。盡管這在理論上甚至在某些實(shí)際問題如全球定位系統(tǒng)和航空中是重要的，歐幾里得模型仍足夠精確的用于大多數(shù)其他實(shí)際問題。

相關(guān)條目

歐幾里得幾何

歐幾里得距離

閔可夫斯基時(shí)空

黎曼幾何

引用

Kelley, John L. General Topology. Springer-Verlag. 1975. ISBN 978-0-387-90125-1.

Munkres, James. Topology. Prentice-Hall. 1999. ISBN 978-0-13-181629-9.

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