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由來

物理學(xué)中，不同的物理量有著不同的單位，然而這些單位之間都有相互的聯(lián)系。實(shí)際上，恰當(dāng)?shù)匾?guī)定一些基本的單位（稱為基本單位），可以使任何其他的單位（稱為導(dǎo)出單位）都表達(dá)為這些單位的乘積，將其統(tǒng)一以便于研究各個(gè)物理量之間的關(guān)系。如在國際單位制中，功的單位焦耳（J{\displaystyle \mathrm {J} }），可以表示為“千克平方米每平方秒”（kg? ? -->m2/s2{\displaystyle \mathrm {kg\cdot m^{2}/s^{2}} }）。

然而，僅僅用單位來表示會(huì)面臨一些問題：

在不同的單位制下，各個(gè)物理量用單位來表示也會(huì)不同，以至于起不到預(yù)期的“統(tǒng)一各單位”的效果。如英里每小時(shí)（mph）與米每秒（m/s）乍看之下無甚聯(lián)系，然而它們卻都是表示速度的單位。雖然說經(jīng)過轉(zhuǎn)換可以將各個(gè)基本單位也統(tǒng)一，然而這樣終究不夠直觀，需記憶也不甚方便，而且選擇哪一個(gè)單位作為統(tǒng)一單位似乎都不甚公平。

把一個(gè)既有的單位表達(dá)為拆分了的基本單位的形式實(shí)際上沒有任何意義，功的單位無論如何都不是“千克二次方米每二次方秒”，因?yàn)閷?shí)際上這個(gè)單位根本不存在，它只是與“焦耳”恰好相等而已。況且，這樣做也會(huì)導(dǎo)致一些拆分后相同但實(shí)質(zhì)不同的單位被混淆，如力矩的單位牛米（N? ? -->m{\displaystyle \mathrm {N\cdot m} }）被拆分后也是kg? ? -->m2/s2{\displaystyle \mathrm {kg\cdot m^{2}/s^{2}} }，然而它與功顯然是完全不同的。

因此量綱被作為表達(dá)導(dǎo)出單位組成的專有方式引入物理學(xué)中。

表示方法

將一個(gè)物理導(dǎo)出量用若干個(gè)基本量的冪之積表示出來的表達(dá)式，稱為該物理量的量綱乘積式或量綱式，亦簡稱量綱。

規(guī)定七個(gè)基本物理量，在量綱中分別用七個(gè)字母表示它們的量綱，他們是：長度（L{\displaystyle \mathrm {L} }），質(zhì)量（M{\displaystyle \mathrm {M} }），時(shí)間（T{\displaystyle \mathrm {T} }），電流（I{\displaystyle \mathrm {I} }），溫度（Θ Θ -->{\displaystyle \mathrm {\Theta } }），物質(zhì)的量（N{\displaystyle \mathrm {N} }），發(fā)光強(qiáng)度（J{\displaystyle \mathrm {J} }）。

則對于任意一個(gè)物理量A{\displaystyle A}，都可以寫出下列量綱式：

等號左邊也可以表示為[A]{\displaystyle \left[A\right]}。

上式右邊稱為物理量A{\displaystyle A}的量綱。其中，α α -->β β -->γ γ -->δ δ -->? ? -->ζ ζ -->η η -->{\displaystyle \alpha \,\beta \,\gamma \,\delta \,\epsilon \,\zeta \,\eta }稱為量綱指數(shù)。在表示時(shí)，七個(gè)量綱不一定會(huì)全部用上。量綱指數(shù)為1的可以省略指數(shù)，指數(shù)為0的可以省略對應(yīng)量綱；然而，當(dāng)所有量綱指數(shù)皆為0時(shí)（稱為無量綱），要將量綱記為“1”。

下面舉例說明。

值得注意的是，雖然物理量的量綱與取什么單位無關(guān)，但量綱卻只有在一定的單位制下才有意義。

量綱分析

量綱分析（Dimensional Analysis），又叫量綱分析，是20世紀(jì)初提出的在物理領(lǐng)域中建立數(shù)學(xué)模型的一種方法。量綱分析就是在量綱法則的原則下，分析和探求物理量之間關(guān)系。

量綱分析的基礎(chǔ)是量綱法則。而在深層次運(yùn)用中，幾乎都還會(huì)運(yùn)用到白金漢π定理，以至于有時(shí)候把量綱分析直接看作了“運(yùn)用Π定理進(jìn)行無量綱化的過程”。

量綱的乘除計(jì)算

對于不同物理量之間乘、除法導(dǎo)出新的物理量，量綱的計(jì)算滿足數(shù)學(xué)上的指數(shù)計(jì)算法則，即：相乘則對應(yīng)指數(shù)相加，相除則對應(yīng)指數(shù)相減。

下面舉例說明。例如，根據(jù)安培力計(jì)算公式F=ILB{\displaystyle F=ILB}，可導(dǎo)出磁感應(yīng)強(qiáng)度的量綱，有dim? ? -->B=(dim? ? -->F)(dim? ? -->I)(dim? ? -->L)=LMT? ? -->2IL=MT? ? -->2I? ? -->1{\displaystyle {\begin{aligned}\dim B&={\dfrac {(\dim F)}{(\dim I)(\dim L)}}\\&=\mathrm {\dfrac {LMT^{-2}}{IL}} \\&=\mathrm {MT^{-2}I^{-1}} \end{aligned}}}

量綱法則

量綱服從的規(guī)律稱為量綱法則，它有廣泛的應(yīng)用，一般只指出常用的兩條： 1.只有量綱相同的物理量，才能彼此相加、相減和相等； 2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的宗量應(yīng)當(dāng)是量綱1的。 量綱法則是量綱分析的基礎(chǔ)。若推出的公式不符合量綱法則，該式必然是錯(cuò)誤的。

π定理

π定理是由白金漢（E.Buckinghan）于1915年提出的一個(gè)定理，故又叫作白金漢定理。其內(nèi)容為：

設(shè)影響某現(xiàn)象的物理量數(shù)為n{\displaystyle n}個(gè)，這些物理量的基本量綱為m{\displaystyle m}個(gè)，則該物理現(xiàn)象可用N=n? ? -->m{\displaystyle N=n-m}個(gè)獨(dú)立的無量綱數(shù)群（準(zhǔn)數(shù)）關(guān)系式表示。

用數(shù)學(xué)方式表示為：

設(shè)n個(gè)物理量之間滿足函數(shù)關(guān)系式：

其中，X1,X2,? ? -->,Xn{\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}為物理量。共包含有m個(gè)基本量綱（m

其中k=n? ? -->m{\displaystyle k=n-m},Π Π -->1,Π Π -->2,? ? -->,Π Π -->k{\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2},\cdots ,\Pi _{k}}為無量綱量，F(xiàn)為未知函數(shù)關(guān)系。

下面用一個(gè)簡單的例子粗略說明一下。 舉例：粗糙平面上的一受恒力物體設(shè)在水平面上有一質(zhì)量為m{\displaystyle m}的物體，受一水平力F{\displaystyle F}的作用加速滑動(dòng)，加速度為a{\displaystyle a}，物體與水平面之間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ μ -->{\displaystyle \mu }，重力加速度大小為g{\displaystyle g}。則根據(jù)牛頓力學(xué)知識，可以寫出以下關(guān)系式：F? ? -->μ μ -->mg=ma{\displaystyle F-\mu mg=ma}式中有5個(gè)物理量，涉及到3個(gè)量綱（L{\displaystyle \mathrm {L} }，M{\displaystyle \mathrm {M} }，T{\displaystyle \mathrm {T} }），根據(jù)Π定理，這個(gè)方程可以由兩個(gè)無量綱量表示。比如：Fma? ? -->μ μ -->mgma=1{\displaystyle {\dfrac {F}{ma}}-{\dfrac {\mu mg}{ma}}=1}式中Fma{\displaystyle {\dfrac {F}{ma}}}與μ μ -->mgma{\displaystyle {\dfrac {\mu mg}{ma}}}皆為無量綱量，1為常數(shù)不加考慮。于是，原來有五個(gè)未知量的式子就被轉(zhuǎn)化為只有兩個(gè)未知量的了。實(shí)際應(yīng)用當(dāng)然會(huì)比這個(gè)復(fù)雜得多，然而原理是一樣的。

π定理是量綱分析中一個(gè)非常重要的定理，它與量綱法則是量綱分析的兩大方法，它在建立模型和簡化物理過程方面有著巨大的用途。

量綱分析的主要用處

量綱分析是物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，更在空氣動(dòng)力學(xué)和流體力學(xué)中有重要應(yīng)用。

可以在不同的單位制間進(jìn)行導(dǎo)出單位的換算。

下面舉例說明。如，在推導(dǎo)牛頓與達(dá)因之間的換算關(guān)系時(shí)，我們已知dim? ? -->F=LMT? ? -->2{\displaystyle \dim F=\mathrm {LMT^{-2}} }，又知道牛頓使用國際單位制（千克米秒制），達(dá)因使用厘米克秒制，1m=100cm，1kg=1000g,于是1N1dyn=(1m1cm)(1kg1g)()? ? -->2=105{\displaystyle \mathrm {{\dfrac {1N}{1dyn}}=\left({\dfrac {1m}{1cm}}\right)\left({\frac {1kg}{1g}}\right)\left({\frac {}{}}\right)^{-2}=10^{5}} }1N=105dyn{\displaystyle \mathrm {1N=10^{5}dyn} }

驗(yàn)證公式。在對一個(gè)公式躊躇不定的時(shí)候，可以對等號兩邊進(jìn)行取量綱。因?yàn)楦鶕?jù)量綱的一致性，只有量綱相同的物理量才能進(jìn)行相加、相減、相等，故可用該方法排除一部分錯(cuò)誤。（當(dāng)然，這并不總是有效。）

下面舉例說明。比如，對于安培力公式F=ILB{\displaystyle F=ILB}，如果不慎記成F=IvB{\displaystyle F=IvB}，那么在驗(yàn)證時(shí)有，dim? ? -->F=LMT? ? -->2{\displaystyle \dim F=\mathrm {LMT^{-2}} }dim? ? -->IvB=ILT? ? -->1MT? ? -->2I? ? -->1=LMT? ? -->3{\displaystyle \dim IvB=\mathrm {ILT^{-1}MT^{-2}I^{-1}=LMT^{-3}} }顯然是不等的，那么便可以得知公式錯(cuò)誤；并且還可以知道是少了一個(gè)量綱T{\displaystyle \mathrm {T} }，那么便會(huì)更有方向性地尋找錯(cuò)誤原因。

為復(fù)雜公式提供線索，簡化復(fù)雜物理現(xiàn)象。

下面舉例說明。比如，對于單擺的周期，我們猜測它可能與單擺的質(zhì)量m{\displaystyle m}、擺長l{\displaystyle l}和重力加速度g{\displaystyle g}，于是我們假設(shè)T=λ λ -->mxlygz{\displaystyle T=\lambda m^{x}l^{y}g^{z}}其中λ λ -->{\displaystyle \lambda }為常數(shù)。兩邊取量綱，得T=MxLy(LT? ? -->2)z{\displaystyle \mathrm {T=M^{x}L^{y}(LT^{-2})^{z}} }根據(jù)量綱的一致性，{0=y+z0=x? ? -->2z=1{\displaystyle {\begin{cases}0=y+z\\0=x\\-2z=1\end{cases}}}解得x=0，y=0.5，z=-0.5，故T=λ λ -->lg{\displaystyle T=\lambda {\sqrt {\frac {l}{g}}}}只需用實(shí)驗(yàn)測出λ λ -->{\displaystyle \lambda }的值就可以了。

流體力學(xué)中諸如湍流、流體阻力之類的問題，理論非常復(fù)雜，有時(shí)也常采用實(shí)驗(yàn)的方式確定。我們已經(jīng)看到，在量綱法則上建立的Π定理把n元關(guān)系式簡化為n-m元關(guān)系式，于是在實(shí)際計(jì)算中我們只需要這n-m個(gè)值便可了解該物理過程了。力學(xué)涉及三個(gè)量綱（L{\displaystyle \mathrm {L} }，M{\displaystyle \mathrm {M} }，T{\displaystyle \mathrm {T} }），因此通過無量綱化便減少了3個(gè)未知量，這實(shí)際上大大地簡化了實(shí)驗(yàn)過程和理論計(jì)算。

參見條目

量綱分析

參考文獻(xiàn)

書目

鄭永令，賈啟明，方小敏. 《力學(xué)（第二版）》. 北京: 高等教育出版社. 2002. ISBN 978-6-04-011084-5 . 

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