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初出

《九章算術(shù)》中曾認為，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等于正方形與其內(nèi)切圓面積之比。魏國數(shù)學(xué)家劉徽在他為《九章算術(shù)》作的注釋中指出，原書的說法是不正確的，只有“牟合方蓋”（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等于正方形與其內(nèi)切圓的面積之比，也就是：

但劉徽沒有給出牟合方蓋的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

推導(dǎo)

一直到南北朝時，數(shù)學(xué)家祖沖之和其子祖暅之才另創(chuàng)新法求出牟合方蓋與球體體積。他們的求法紀(jì)錄在唐代李淳風(fēng)為九章算數(shù)作的注解中，留傳至今。

在這一段說明的形狀可以看做是一個 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} 的牟合方蓋，外接一個立方體； 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} 的牟合方蓋即是“內(nèi)棋”，立方體減去內(nèi)棋的余部即為“外棋”。

現(xiàn)在將內(nèi)外棋橫向切開。內(nèi)棋的截面是正方形，可以用勾股弦定理求出其邊長與圓半徑的關(guān)系式。令圓半徑（立方體邊長）為 r，底面到截面的高為 h ，則正方形邊長為 r 2 ? ? --> h 2 {\displaystyle {\sqrt {r^{2}-h^{2}}}} ，面積為 r 2 ? ? --> h 2 {\displaystyle r^{2}-h^{2}} ；也就是說外棋截面的面積為 r 2 ? ? --> ( r 2 ? ? --> h 2 ) = h 2 {\displaystyle r^{2}-(r^{2}-h^{2})=h^{2}} 。

現(xiàn)在以立方體的一個底面和底面以外的一個頂點作一個四角錐（這個形狀稱為 陽馬 ）。對陽馬距離角錐h處橫向切開，則截面是一個正方形，面積等于 h 2 {\displaystyle h^{2}} 。

祖氏父子在此解釋： 所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等 。這就是今天所稱的“ 祖暅原理 ”。套用此定理，

所以外棋體積也等于陽馬體積。

《九章算術(shù)》中已有提到，陽馬的體積等于其外接立方體的體積的 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} ，所以內(nèi)棋的體積是立方體的 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} ，即 2 r 3 3 {\displaystyle {\tfrac {2r^{3}}{3}}} 。由于內(nèi)棋是牟合方蓋的 1 8 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}} ，故牟合方蓋的體積為

而球體體積即為

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