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介紹

ZFC構(gòu)成自一個(gè)單一的基本本體論概念集合，和一個(gè)單一的本體論假定，就是在論域中所有的個(gè)體（就是所有數(shù)學(xué)對(duì)象）都是集合。有一個(gè)單一的基本二元關(guān)系集合成員關(guān)系；集合a是集合b的成員寫(xiě)為a∈ ∈ -->{\displaystyle \in }b（通常讀做"a是b的元素"）。ZFC是一階理論，所以ZFC包括后臺(tái)邏輯是一階公理的公理。這些公理支配了集合的行為和交互。ZFC是標(biāo)準(zhǔn)形式的公理化集合論。使用ZFC的大量的正在進(jìn)行中的普通數(shù)學(xué)推導(dǎo)請(qǐng)參見(jiàn)Metamath在線(xiàn)計(jì)劃。

在1908年，恩斯特·策梅洛提議了第一個(gè)公理化集合論，策梅洛集合論。這個(gè)公理化理論不允許構(gòu)造序數(shù)；而多數(shù)“普通數(shù)學(xué)”不使用序數(shù)就不能被開(kāi)發(fā)，序數(shù)在多數(shù)集合論研究中是根本工具。此外，Zermelo的一個(gè)公理涉及“明確性”性質(zhì)的概念，它的操作性意義是有歧義的。在1922年，亞伯拉罕·弗蘭克爾（英語(yǔ)：Abraham Fraenkel）和陶拉爾夫·斯科倫（英語(yǔ)：Thoralf Skolem）獨(dú)立的提議了定義“明確性”性質(zhì)為可以在一階邏輯中公式化的任何性質(zhì)，從他們的工作促成了替代公理。Zermelo集合論接受替代公理和正規(guī)公理，產(chǎn)生了被稱(chēng)呼為ZF的這個(gè)集合論。

向ZF增加選擇公理產(chǎn)生了ZFC。在數(shù)學(xué)成果要求選擇公理的時(shí)候，有時(shí)明顯的這么聲明。這么單提出AC的原因是AC天生的，是非構(gòu)造性的；它確立一個(gè)集合（選擇集合）的存在，而不規(guī)定如何構(gòu)造這個(gè)集合。所以使用AC證明的結(jié)果涉及盡管可以證明其存在（如果你不忠于構(gòu)造主義本體論的話(huà)），但可能永遠(yuǎn)都不能構(gòu)造出來(lái)的集合。

ZFC有無(wú)窮多個(gè)公理，因?yàn)樘娲韺?shí)際上是公理模式。已知ZFC和ZF集合論二者都不能用有限數(shù)目個(gè)公理來(lái)公式化，這最先由Richard Montague證實(shí)。在另一方面，馮諾伊曼-博內(nèi)斯-哥德?tīng)柤险摚╒on Neumann–Bernays–G?del, NBG）可以有限的公理化。NBG的本體論同集合一樣包括類(lèi)；類(lèi)是有成員但不是其他類(lèi)的成員的實(shí)體。NBG和ZFC是等價(jià)的集合論，在關(guān)于集合（就是說(shuō)不以任何方式提及類(lèi)）的任何定理在一個(gè)理論中可以證明，就可以在另一個(gè)理論中證明。

依據(jù)哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ?，ZFC的相容性不能在ZFC自身之內(nèi)證明。ZFC的廣延等同于普通數(shù)學(xué)，所以ZFC的相容性不能在普通數(shù)學(xué)中證明。ZFC的相容性可從弱不可及基數(shù)的存在而得出，它是其存在不能在ZFC中證明的某種東西。但是幾乎沒(méi)有人懷疑ZFC有什么未被發(fā)覺(jué)的矛盾；如果ZFC是不自洽的，早就該被發(fā)掘出來(lái)。這是確定無(wú)疑的：ZFC免除了樸素集合論的三大悖論，羅素悖論、布拉利-福爾蒂悖論和康托爾悖論。

文獻(xiàn)中討論過(guò)的ZFC的缺陷包括：

它比幾乎所有普通數(shù)學(xué)所要求的程度還要強(qiáng)（Saunders MacLane和Solomon Feferman這么認(rèn)為）；

相對(duì)于其他集合論的公理化，ZFC相對(duì)要弱。例如，它不允許全集（如新基礎(chǔ)）或類(lèi)（如NBG）的存在；

Saunders MacLane（范疇論的締造者之一）和其他人爭(zhēng)論說(shuō)任何公理化集合論對(duì)于實(shí)際上的數(shù)學(xué)工作方式而言都是不正當(dāng)?shù)?。依?jù)他的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)不是關(guān)于抽象對(duì)象的搜集和它們的性質(zhì)的學(xué)科，而是關(guān)于結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)保持的映射的學(xué)科。

公理

ZFC的公理有許多等價(jià)的公式。下列的公理集合是由丘嫩于1980年提出的。公理本身以一階邏輯來(lái)敘述，之中的句子只是用來(lái)增加對(duì)邏輯描述的直覺(jué)概念。

1.外延公理

Axiom of extensionality

兩個(gè)集合相等，若它們有相同的元素。

這個(gè)公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式“=”，x=y可以定義為如下公式的縮寫(xiě)

如此一來(lái)，外延公理可寫(xiě)成：

若x和y有相同的元素，則它們屬于同一個(gè)集合

2.正規(guī)公理

Axiom of regularity / Axiom of foundation

每個(gè)非空集合x(chóng)都包含一個(gè)成員y，使得x和y不相交。

3.分類(lèi)公理

設(shè)z為一個(gè)集合，且? ? -->{\displaystyle \phi \!}為任一個(gè)描述z內(nèi)元素x的特征的性質(zhì)，則存在z的子集y，包含z內(nèi)滿(mǎn)足這個(gè)性質(zhì)的x。這個(gè)“限制”可用來(lái)避免羅素悖論之類(lèi)的悖論。更形式化地說(shuō)，令? ? -->{\displaystyle \phi \!}為ZFC語(yǔ)言中的任一公式，具有x,z,w1,… … -->,wn{\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,自由{n}\!}等自由變數(shù)（即y在? ? -->{\displaystyle \phi \!}內(nèi)不是自由的），則

這個(gè)公理是Z的一部分，但在ZF中就顯得多余，因?yàn)樗梢杂商娲砗涂占碇袑?dǎo)出。

由分類(lèi)公理構(gòu)成的集合通常使用集合建構(gòu)式符號(hào)來(lái)標(biāo)記。給定一集合z和具有一自由變數(shù)x的公式? ? -->(x){\displaystyle \phi (x)\!}，則由所有在z內(nèi)，滿(mǎn)足? ? -->{\displaystyle \phi \!}的x所組成的集合，標(biāo)記為

分類(lèi)公理可以用來(lái)證明空集（標(biāo)記為? ? -->{\displaystyle \varnothing }）的存在，只要至少已存在一個(gè)集合。通常的方法是找一個(gè)所有集合都沒(méi)有的性質(zhì)。例如，設(shè)w是一個(gè)已存在的集合，而空集可定義為

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

因此，空集公理可由此處的九個(gè)公理中導(dǎo)出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴(lài)w）。通常會(huì)以定義性擴(kuò)展，將符號(hào)? ? -->{\displaystyle \varnothing }加至ZFC語(yǔ)言中。

4.配對(duì)公理

Axiom of pairing

若x和y是集合，則存在一個(gè)集合包含x　和y。

這個(gè)公理是Z的一部分，但在ZF中就顯得多余，因?yàn)樗梢杂蓪⑻娲響?yīng)用至任意有兩個(gè)成員的集合上導(dǎo)出。此類(lèi)集合的存在性可由將無(wú)窮公理或冪集公理應(yīng)用兩次至空集上得到。

5.聯(lián)集公理

Axiom of union

對(duì)任一個(gè)集合F{\displaystyle {\mathcal {F}}}，總存在一個(gè)集合A，包含每個(gè)為F{\displaystyle {\mathcal {F}}}。的某個(gè)成員的成員的集合。

6.替代公理

Axiom schema of replacement

令? ? -->{\displaystyle \phi \!}是ZFC語(yǔ)言?xún)?nèi)的任意公式，其自由變數(shù)有x,y,A,w1,… … -->,wn{\displaystyle x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}，但B在? ? -->{\displaystyle \phi \!}　則不是自由的。則：

較不形式地說(shuō)，這個(gè)公理敘述：若一個(gè)可定義的函數(shù)f的定義域?yàn)橐患?，且?duì)定義域的任一x，f(x)也都是集合，則f的值域會(huì)是一個(gè)集合的子集。這個(gè)限制被需要用來(lái)避免一些悖論。

7.無(wú)窮公理

Axiom of infinity

令S(x){\displaystyle S(x)\!}為x∪ ∪ -->{x}{\displaystyle x\cup \{x\}\!}，其中x{\displaystyle x\!}為某個(gè)集合，則存在一個(gè)集合X，使得空集? ? -->{\displaystyle \varnothing }為X的成員，且當(dāng)一個(gè)集合y為X的成員時(shí)，S(y){\displaystyle S(y)\!}也會(huì)是X的成員。

較口語(yǔ)地說(shuō)，存在一個(gè)有無(wú)限多成員的集合X。滿(mǎn)足無(wú)窮公理的最小集合X為馮諾伊曼序數(shù)ω，這個(gè)序數(shù)也可想成是自然數(shù)的集合N{\displaystyle \mathbb {N} }。

8.冪集公理

Axiom of power set

令z? ? -->x{\displaystyle z\subseteq x}為? ? -->q(q∈ ∈ -->z? ? -->q∈ ∈ -->x){\displaystyle \forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)}。對(duì)任一個(gè)集合x(chóng)，皆存在一個(gè)集合y，為x的冪集的父集。x　的冪集為一個(gè)其成員為所有x的子集的類(lèi)。

9.良序定理

Well-ordering theorem

對(duì)任一集合X，總存在一個(gè)可良好排序X的二元關(guān)系R。這意指著，R是X上的全序關(guān)系，且X內(nèi)每個(gè)非空子集在R下都有一個(gè)最小元素。

若給定前八個(gè)公理，就可以找到許多個(gè)和第九個(gè)公理等價(jià)的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令X為一非空集合，則存在一從X映射至X內(nèi)成員的聯(lián)集的函數(shù)（稱(chēng)為“選擇函數(shù)”），可使得對(duì)所有的Y ∈ X都會(huì)有f(Y) ∈ Y。因?yàn)楫?dāng)X為有限集合時(shí)，選擇函數(shù)的存在性很容易由前八個(gè)公理中證出，所以選擇公理只在無(wú)限集合中有意義。選擇公理被認(rèn)為是非結(jié)構(gòu)的，因?yàn)樗宦暶饕粋€(gè)選擇集合的存在，但完全不講這個(gè)選擇集合是如何被“建構(gòu)”出來(lái)的。

參見(jiàn)

康托爾定理

公理化集合論

策梅洛集合論

羅素公理體系

新基礎(chǔ)集合論

ZFC系統(tǒng)無(wú)法確定的命題列表 -en:List of statements undecidable in ZFC

文獻(xiàn)

Abian, Alexander, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.

Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.

Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.

Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.

Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.

Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

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