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簡介

趨膚效應(yīng)最早在英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家賀拉斯·蘭姆（Horace Lamb）1883年發(fā)表的一份論文中提及，只限于球殼狀的導(dǎo)體。1885年，英國物理學(xué)家奧利弗·赫維賽德（Oliver Heaviside）將其推廣到任何形狀的導(dǎo)體。趨膚效應(yīng)使得導(dǎo)體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，并導(dǎo)致導(dǎo)線傳輸電流時效率減低，耗費金屬資源。在無線電頻率的設(shè)計、微波線路和電力傳輸系統(tǒng)方面都要考慮到趨膚效應(yīng)的影響。

理論

當(dāng)單色平面電磁波從真空垂直射入表面為平面的無限大導(dǎo)體中時，隨著與導(dǎo)體表面的距離逐漸增加，導(dǎo)體內(nèi)的電流密度J呈指數(shù)遞減

其中， J s {\displaystyle J_{s}} 是導(dǎo)體表面的電流密度， x {\displaystyle x} 表示電流與導(dǎo)體表面的距離， δ δ --> {\displaystyle \delta } 是一個和導(dǎo)體的電阻率以及交流電的頻率系數(shù)的系數(shù)，稱為趨膚深度。

其中：

對于很長的圓柱形導(dǎo)體，比如導(dǎo)線來說，如果它的直徑 D {\displaystyle D} 比 δ δ --> {\displaystyle \delta } 大很多的話，它對于交流電的電阻將會相當(dāng)于一個中空的厚度為 δ δ --> {\displaystyle \delta } 的圓柱導(dǎo)體對直流電的電阻。

其中：

具體來說，假設(shè) I ( r ) {\displaystyle I(r)} 是從離導(dǎo)線中心r處到導(dǎo)線表面的截面上通過的電流， I {\displaystyle I} 為截面上的總電流，那么有：

其中Ber和Bei為0階的開爾文-貝塞爾函數(shù)的相應(yīng)原函數(shù)（具體見下）。

圓柱形導(dǎo)體的模型

考慮一個半徑為a，長度無限大的圓柱形導(dǎo)體。假設(shè)電磁場是交變的，圓柱中有頻率為ω的正弦交流電流。由麥克斯韋方程組，

麥克斯韋-法拉第方程：

麥克斯韋-安培方程：

其中：

E是電場強度

B是磁感應(yīng)強度

J是電流密度

μ是導(dǎo)體的磁導(dǎo)率

在導(dǎo)體中，歐姆定律的微分形式為：

σ是導(dǎo)體的電導(dǎo)率。

我們假設(shè)導(dǎo)體是均勻的，于是導(dǎo)體各處的μ和σ都相同。于是有：

在圓柱坐標(biāo)系(r, θ, z)（z為圓柱導(dǎo)體的軸心）中，設(shè)電磁波隨z軸前進，由對稱性，電流密度是一個只和r有關(guān)的函數(shù)：

取麥克斯韋-法拉第方程兩邊的旋度，就有：

也就是：

由之前對電流密度的假設(shè)， d i v J = 0 {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0} ，因此有：

在圓柱坐標(biāo)系中，拉普拉斯算子 Δ Δ --> {\displaystyle \Delta } 寫作：

令 k 2 = i ω ω --> σ σ --> μ μ --> {\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu } ，再將方程兩邊乘上r就得到電流密度應(yīng)該滿足的方程：

在進行代換 ξ ξ --> = i k r {\displaystyle \xi =i\,k\,r} 后，方程變?yōu)橐粋€齊次的貝塞爾方程：

由電流密度在r = 0的連續(xù)性，方程的解具有 J 0 ( ξ ξ --> ) {\displaystyle J_{0}(\xi )} 的形式，其中J0是零階的第一類貝塞爾函數(shù)。于是：

其中j0是一個常數(shù)，k為：

其中δ是趨膚深度， δ δ --> = 2 ω ω --> σ σ --> μ μ --> {\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}} ，

最后，電流密度為：

其中ber和bei是0階的開爾文-貝塞爾函數(shù)。

于是通過整個截面的電流總和就是：

記Ber和Bei為相應(yīng)的原函數(shù)：

便有如下更簡潔的形式：

我們還可以計算從圓柱表面到離軸心距離r處的電流總和：

于是有電流的分布函數(shù)：

一般來說，在給定的頻率下，使得導(dǎo)線對交流電的電阻增加百分之十的直徑大約是：

以上的導(dǎo)線對交流電的電阻只對于孤立的導(dǎo)線成立。對于兩根鄰近的導(dǎo)線，交流電阻會受到鄰近效應(yīng)的影響而顯著增大。

減緩趨膚效應(yīng)的方法

一種減緩趨膚效應(yīng)的方法是采用所謂的利茲線（源自德語：Litzendraht，意為“編織起來的線”）。利茲線采用將多條金屬導(dǎo)線相互纏繞的方法，使得電磁場能夠比較均勻地分布，這樣各導(dǎo)線上的電流分布就會較為平均。使用利茲線后，產(chǎn)生顯著趨膚效應(yīng)的頻率可以從數(shù)千赫茲提高到數(shù)兆赫茲。利茲線一般應(yīng)用在高頻交流電的傳輸中，可以同時減緩趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)。

高電壓大電流的架空電力線路通常使用鋼芯鋁絞線，這樣能使鋁質(zhì)部分的工作部分溫度降低，減低電阻率，并且由于趨膚效應(yīng)，電阻率較大的鋼芯上承載極少的電流，因而無關(guān)緊要。

還有將實心導(dǎo)線換成空心導(dǎo)線管，中間補上絕緣材料的方法，這樣可以減輕導(dǎo)線的重量。

在傳輸?shù)念l率在甚高頻或微波級別時，一般會使用鍍銀（已知的除超導(dǎo)體外最好的導(dǎo)體）的導(dǎo)線，因為這時趨膚深度如此之淺，以至于更厚的銀層已經(jīng)是浪費了。

其它應(yīng)用

趨膚效應(yīng)使得交變電流只通過導(dǎo)體的表面，因此電流只在其表面產(chǎn)生熱效應(yīng)。鋼鐵工業(yè)中利用趨膚效應(yīng)來為鋼進行表面淬火，使鋼材表面的硬度增大。

趨膚效應(yīng)也可以描述為：導(dǎo)體中交變電磁場的強度隨著進入導(dǎo)體的深度而呈指數(shù)遞減，因此在防曬霜中混入導(dǎo)體微粒（一般是氧化鋅和氧化鈦），就能使陽光中的紫外線（高頻電磁波）的強度減低。這便是物理防曬的原理之一。此外，趨膚效應(yīng)也是電磁屏蔽的方法之一，利用趨膚效應(yīng)可以阻止高頻電磁波透入良導(dǎo)體而作成電磁屏蔽裝置，這也是電梯里手機信號不好的原因。

舉例

頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度：

在銅質(zhì)導(dǎo)線中，趨膚深度和頻率的關(guān)系大致如下：

參見

鄰近效應(yīng)

麥克斯韋方程組

渦旋電場

趨膚深度

漸逝波

相關(guān)參考

x

William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639

Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386

Terman, F.E. Radio Engineers" Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above

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