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歷史現(xiàn)在所知的Z變換的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W.Hurewicz（英語(yǔ)：WitoldHurewicz）用作求解常系數(shù)差分方程的一種容易處理的方式。后來(lái)由1952年哥倫比亞大學(xué)的采樣控制組的雷加基尼和查德稱其為“Z變換”。E.I.Jury后來(lái)發(fā)展并推廣了改進(jìn)或高級(jí)Z變換（英語(yǔ)：AdvancedZ-transform）。Z變換中包含的思想在數(shù)學(xué)里稱作母函數(shù)方法，該方法可以追溯到1730年的時(shí)候，棣莫弗與概率論結(jié)合將其引入。從數(shù)學(xué)的角度，當(dāng)把數(shù)字序列視為解析函數(shù)的（洛朗）展開時(shí)，Z變換也可以看成是洛朗級(jí)數(shù)。定義像很多積分變換一樣，Z變換可以有單邊和雙邊定義。雙邊Z變換雙邊Z變換把離散時(shí)域信號(hào)x[n]轉(zhuǎn)為形式冪級(jí)數(shù)X(Z)。當(dāng)中n{\displaystylen}是整數(shù)，z{\displaystylez}是復(fù)數(shù)變量，其表示方式為其中A為z的模，j為虛數(shù)單位，而?為幅角（也叫相位角）...

參考文獻(xiàn)Galambos,Janos;Simonelli,Italo.Productsofrandomvariables:applicationstoproblemsofphysicsandtoarithmeticalfunctions.MarcelDekker,Inc.2004.ISBN0-8247-5402-6.

定義點(diǎn)變換（pointtransformation）將廣義坐標(biāo)q=(q1,q2,……-->,qN){\displaystyle\mathbf{q}=(q_{1},\q_{2},\\dots,\q_{N})}變換成廣義坐標(biāo)Q=(Q1,Q2,……-->,QN){\displaystyle\mathbf{Q}=(Q_{1},\Q_{2},\\dots,\Q_{N})}，點(diǎn)變換方程的形式為其中，t{\displaystylet}是時(shí)間。在哈密頓力學(xué)里，由于廣義坐標(biāo)與廣義動(dòng)量p=(p1,p2,……-->,pN){\displaystyle\mathbf{p}=(p_{1},\p_{2},\\dots,\p_{N})}同樣地都是自變量（independentvariable），點(diǎn)變換的定義可以加以延伸，使變換方程成為其中，P=(P1,P2,……-->,PN){\displays...

應(yīng)用任意線性變換都可以用矩陣表示為易于計(jì)算的一致形式，并且多個(gè)變換也可以很容易地通過(guò)矩陣的相乘連接在一起。線性變換不是唯一可以用矩陣表示的變換。R維的仿射變換與透視投影都可以用齊次坐標(biāo)表示為RP維（即n+1維的真實(shí)投影空間）的線性變換。因此，在三維計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中大量使用著4x4的矩陣變換。尋找變換矩陣如果已經(jīng)有一個(gè)函數(shù)型的線性變換T(x){\displaystyleT(x)}，那么通過(guò)T對(duì)標(biāo)準(zhǔn)基每個(gè)向量進(jìn)行簡(jiǎn)單變換，然后將結(jié)果插入矩陣的列中，這樣很容易就可以確定變換矩陣A，即例如，函數(shù)T(x)=5x{\displaystyleT(x)=5x}是線性變換，通過(guò)上面的過(guò)程得到（假設(shè)n=2）在二維圖形中的應(yīng)用示例最為常用的幾何變換都是線性變換，這包括旋轉(zhuǎn)、縮放、切變、反射以及正投影。在二維空間中，線性變換可以用2×2的變換矩陣表示。旋轉(zhuǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ度角的變換公式是x′=xcos??-->θ...

數(shù)學(xué)定義一個(gè)在兩個(gè)仿射空間之間的仿射變換，是在向量上呈現(xiàn)線性之坐標(biāo)點(diǎn)的變換（即為空間中點(diǎn)與點(diǎn)之間的向量）。以符號(hào)表示的話，f{\displaystylef}"使得φφ-->{\displaystyle\varphi}，決定任一對(duì)點(diǎn)的線性變換：P,Q∈∈-->A{\displaystyleP,Q\in{\mathcal{A}}}:或者f(Q)??-->f(P)=φφ-->(Q??-->P){\displaystylef(Q)-f(P)=\varphi(Q-P)}.其他定義.我們可以將此定義繼續(xù)延伸：假設(shè)選定一原點(diǎn),O∈∈-->A{\displaystyleO\in{\mathcal{A}}}且B{\displaystyleB}表示其圖像f(O)∈∈-->B{\displaystylef(O)\in{\mathcal{B}}},如此即代表對(duì)任...