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帕塞瓦爾定理的陳述

在一般的歐氏平面幾何中，勾股定理說明直角三角形的兩個(gè)直角邊之長(zhǎng)度的平方加起來等于斜邊的平方。從另一種角度來看，若在平面上定義了一個(gè)直角坐標(biāo)系xOy（單位向量分別是(ex,ey){\displaystyle (e_{x},e_{y})}），那么一個(gè)向量和它在這兩個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影構(gòu)成一個(gè)直角三角形，因此，向量的長(zhǎng)度的平方等于它在兩個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影的長(zhǎng)度的平方之和。

對(duì)于一個(gè)有限維的歐幾里得空間Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 以及其中的標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范正交基(e1,e2,? ? -->,en){\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}，空間中的一個(gè)向量v=(v1,v2,? ? -->,vn){\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\cdots ,v_{長(zhǎng)度)} 的長(zhǎng)度的平方等于它在各個(gè)基向量上的投影的長(zhǎng)度的平方之和：

在一般的希爾伯特空間之中，也有類似的等式。設(shè)H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 是一個(gè)裝備了內(nèi)積：?? ? -->,? ? -->?{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle } 的希爾伯特空間?？紤]H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的一組規(guī)范正交基：(e1,e2,? ? -->,en,? ? -->){\displaystyle (e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots )}，那么H{\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的每一個(gè)向量的范數(shù)的平方都等于它在各個(gè)基向量上的投影的平方之和。

假定A(x)和B(x)都是平方可積的（參照勒貝格測(cè)度）復(fù)變函數(shù)，且定義在R上周期為2π的區(qū)間上，分別寫成傅里葉級(jí)數(shù)的形式:

和

然后

這里的i是虛數(shù)單位而上劃線（horizontal bars）表示復(fù)共軛運(yùn)算。

More generally, given an abelian topological group G with Pontryagin dual G^, Parseval"s theorem says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.

物理學(xué)和工程學(xué)上使用的記號(hào)

在物理學(xué)和工程學(xué)中, 帕塞瓦爾定理通常描述如下:

其中X(f)=F{x(t)}{\displaystyle X(f)={\mathcal {F}}\{x(t)\}} 為 x(t) 的連續(xù)傅立葉變換（以歸一化酉形式），而f代表x的頻率分量（非角頻率）

帕塞瓦爾定理的此表達(dá)形式解釋了波形x(t)依時(shí)間域t累積的總能量與該波形的傅立葉變換X(f)在頻域域f累積的總能量相等。

對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)，該理論表達(dá)式變換為：

其中，X為x的離散時(shí)間傅立葉變換(DTFT)，而Φ為x的角頻率（度每樣本）。

此外，對(duì)于離散傅立葉變換(DFT)，表達(dá)式變換為：

其中，X[k]為x[n]的DFT變換，變換前后樣本長(zhǎng)度皆為N。

參見

帕塞瓦爾恒等式

Plancherel"s theorem

Parseval–Gutzmer formula

參考鏈接

傅立葉級(jí)數(shù),單維彰

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