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證明

圓

如圖，如果圓錐曲線是一圓，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長線交于點G，邊BC、EF的延長線交于點H，邊CD、FA的延長線交于點K。

延長AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB于M、N、L三點，構(gòu)成△LMN。

利用梅涅勞斯定理：

直線BC截LM、MN、NL于B、C、H三點，則LBMB? ? -->MCNC? ? -->NHLH=1{\displaystyle {\frac {LB}{MB}}\cdot {\frac {MC}{NC}}\cdot {\frac {NH}{LH}}=1}…①

直線DE截LM、MN、NL于G、D、E三點，則LGMG? ? -->MDND? ? -->NELE=1{\displaystyle {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MD}{ND}}\cdot {\frac {NE}{LE}}=1}…②

直線AF截LM、MN、NL于A、K、F三點，則LAMA? ? -->MKNK? ? -->NFLF=1{\displaystyle {\frac {LA}{MA}}\cdot {\frac {MK}{NK}}\cdot {\frac {NF}{LF}}=1}…③

連BE，則LA·LB=LF·LE，∴…④。同理MAMD? ? -->MBMC=1{\displaystyle {\frac {MA}{MD}}\cdot {\frac {MB}{MC}}=1}…⑤，NCNF? ? -->NDNE=1{\displaystyle {\frac {NC}{NF}}\cdot {\frac {ND}{NE}}=1}…⑥。

將①②③④⑤⑥相乘，得NHLH? ? -->LGMG? ? -->MKNK=1{\displaystyle {\frac {NH}{LH}}\cdot {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MK}{NK}}=1}。

∵點H、G、K在△LMN的邊LN、LM、MN的延長線上，∴H、G、K三點共線。

其余圓錐曲線

任何非退化圓錐曲線皆可經(jīng)由投影變換投影成圓，故帕斯卡定理于其他圓錐曲線亦成立。

參見

布列安桑定理

帕普斯定理

笛沙格定理

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