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定義設A{\displaystyleA}為一交換環(huán)，A{\displaystyleA}上的代數(shù)（或稱A{\displaystyleA}-代數(shù)）是下述結構：集合E{\displaystyleE}是個A{\displaystyleA}-模。指定E{\displaystyleE}上的一個二元運算，通常以乘法符號表示：此二元運算是雙線性的，換言之：最?？紤]的情形是A{\displaystyleA}是一個域，這時稱域代數(shù)，一些作者也將代數(shù)定義成域上的代數(shù)。若E{\displaystyleE}上的乘法滿換性xy=yx{\displaystylexy=yx}，則稱之為可交換代數(shù)；若E{\displaystyleE}上的乘法滿足結合律x(yz)=(xy)z{\displaystylex(yz)=(xy)z}，則稱之為結合代數(shù)，詳閱主條目結合代數(shù)。交換代數(shù)學中考慮的代數(shù)均屬可交換的結合代數(shù)。代數(shù)同態(tài)設E,F...

歷史希臘數(shù)學家歐幾里得在其著作幾何原本中詳述幾何性的代數(shù)。代數(shù)的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發(fā)展出了較之前更進步的算術系統(tǒng)，使其能以代數(shù)的方法來做計算。經(jīng)由此系統(tǒng)的被使用，他們能夠列出含有未知數(shù)的方程并求解，這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程等方法來解答的。相對地，這一時期大多數(shù)的埃及人及公元前1世紀大多數(shù)的印度、希臘和中國等數(shù)學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的，如在萊因德數(shù)學紙草書、繩法經(jīng)、幾何原本及九章算術等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作，以幾何原本為其經(jīng)典，提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統(tǒng)之架構。代數(shù)（algebra）導源于阿拉伯語單字“al-jabr”，其出自al-Kitābal-mu?ta?arfī?isābal-?abrwa-l-muqābala這本書的書名上，意指移項和合并同類項之計算的摘要，其為...

基本構思從泛代數(shù)角度來看，代數(shù)是個集合A擁有一組算子。在A上的一個n元運算是個函數(shù)以n個A的元素為輸入并返回一個A的元素。無元運算：產(chǎn)生常數(shù)a單元運算：例如~x二元運算：x*y除了運算，還有符合一些公理及方程式定律，例如結合律、交換律等等。相關條目調(diào)和分析測度分析微分幾何及拓撲代數(shù)拓撲代數(shù)幾何抽象代數(shù)

定義及運算律外代數(shù)有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。定義:設V{\displaystyleV}是域K{\displaystyleK}上的一個向量空間，讓Tk(V):=V??-->??-->??-->V??-->k{\displaystyleT^{k}(V):={\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimesV}}}}則定義令I{\displaystyleI}為V{\displaystyleV}的張量代數(shù)的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如v??-->v{\displaystylev\otimesv}的張量生成的（其中v∈∈-->V{\displaystylev\inV}任意），則將V{\displaystyleV}上的外代數(shù)ΛΛ-->(V){\displaystyle\Lambda(V)...

參見代數(shù)簇文獻BriandConrad,AModernProofofChevalley"sTheoremonAlgebraicGroups.Humphreys,J.E.,Linearalgebraicgroups,GraduateTextsinMathematics,No.21.Springer-Verlag.Milne,J.S.,AlgebraicandArithmeticGroups.Mumford,D.,Abelianvarieties,TataInstituteofFundamentalResearchStudiesinMathematics,No.5.Springer,T.A.,Linearalgebraicgroups,2nd.ed.,ProgressinMathematics9.Boston:Birkh?user.Waterhouse,W.C.,Intro...