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性質(zhì)

古德曼函數(shù)，圖中的藍(lán)色橫線為漸近線 y = ± ± --> π π --> 2 {\displaystyle \scriptstyle {y=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!} 。

古德曼函數(shù)的定義如下

（ g d ( x ) = a r c c o t ( c s c h x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {gd}}(x)=\mathrm {arccot} \left(\mathrm {csch} \,x\right)\end{aligned}}\,\!} 僅在arccot的值域設(shè)為 [ ? ? --> π π --> 2 , π π --> 2 ] {\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]} 時(shí)成立，參見反余切。）

有以下恒等式：

反函數(shù)

古德曼函數(shù)的反函數(shù)，圖中的藍(lán)色直線為漸近線 x = ± ± --> π π --> 2 {\displaystyle \scriptstyle {x=\pm {\frac {\pi }{2}}}\,\!} 。

古德曼函數(shù)之反函數(shù)的定義為：

有以下恒等式：

余函數(shù)

古德曼函數(shù)的余函數(shù)

古德曼函數(shù)之余函數(shù)的定義為：

有以下恒等式：

微分

它們的導(dǎo)數(shù)分別為：

應(yīng)用

在雙曲幾何中，表達(dá)式

在使用麥卡托投影法的地圖，若以 y {\displaystyle y\,} 表示一個(gè)地點(diǎn)在地圖跟赤道的距離，則其緯度 ? ? --> {\displaystyle \phi \,} 和 y {\displaystyle y\,} 的關(guān)系為：

古德曼函數(shù)在 倒單擺 （ 英語(yǔ) ： Inverted pendulum ） 的非周期解現(xiàn)。

參考

CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp 323-5.

Gudermannian Function -- from Wolfram MathWorld

發(fā)現(xiàn)者的生平

克里斯托夫·古德曼（Christof Gudermann，1798年–1852年）是德國(guó)數(shù)學(xué)家，是高斯的學(xué)生，卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1][2]

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