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定義

循環(huán)小數(shù)即為有理數(shù)的小數(shù)表示形式，例：

54=1.25=1.25000000? ? -->=1.250ˉ ˉ -->{\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}}

13=0.3333333? ? -->=0.3ˉ ˉ -->{\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}

17=0.142857142857? ? -->=0.142857ˉ ˉ -->{\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}

性質

一個分母為N的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)最多不超過N-1位。

除數(shù)a為2m5n{\displaystyle 2^{m}5^{n}}的倍數(shù)時，1÷ ÷ -->a{\displaystyle 1\div a}有max(m,n)個不循環(huán)位數(shù)。

如果1? ? -->ba{\displaystyle b\div a}的循環(huán)節(jié)位數(shù)等于min? ? -->{e∈ ∈ -->N:10e≡ ≡ -->1(moda)}{\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}}。（10e≡ ≡ -->1(moda){\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}}表示10e? ? -->1{\displaystyle 10^{e}-1}可以整除a）

化為分數(shù)的方法

先看有幾位“非循環(huán)節(jié)位數(shù)（n{\displaystyle {\color {blue}n\,\!}}）”和“循環(huán)節(jié)位數(shù)（m{\displaystyle {\color {red}m\,\!}}）”，算出后，將999? ? -->9? ? -->m000? ? -->0? ? -->n{\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}擺于“分母”。

“分子”則是將“非循環(huán)節(jié)部分”和“循環(huán)節(jié)部分”并為一個數(shù)字，將其減去“非循環(huán)節(jié)部分”，即a1a2a3? ? -->anb1b2b3? ? -->bm? ? -->a1a2a3? ? -->an{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}，詳細公式如下。

公式：0.a1a2a3? ? -->anb1b2b3? ? -->bmˉ ˉ -->=a1a2a3? ? -->anb1b2b3? ? -->bm? ? -->a1a2a3? ? -->an999? ? -->9? ? -->m000? ? -->0? ? -->n{\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}

原理：

范例：0.123ˉ ˉ -->=123? ? -->1990=61495{\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}}。

計算方法

利用短除法可以將分數(shù)(有理數(shù)，Q{\displaystyle \mathbb {Q} })轉化為循環(huán)小數(shù)。

例如37{\displaystyle {\frac {3}{7}}}可以用短除法計算如下：

表示方法

在不同的國家地區(qū)對循環(huán)小數(shù)有不同的表示習慣。

使用“上劃線”表示，如：

170=0.0142857ˉ ˉ -->{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}

使用“上點”表示，如：

170=0.01˙ ˙ -->42857˙ ˙ -->{\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}

使用“大括號”表示，如：

170=0.0{142857}{\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}

缺點

不唯一性

使用循環(huán)小數(shù)表示有理數(shù)的缺點在于表示方式的不唯一性，例如1.000000? ? -->=1.0ˉ ˉ -->=0.9ˉ ˉ -->=0.999999? ? -->{\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }

與進位制系統(tǒng)密切相關

由于循環(huán)小數(shù)與進位制系統(tǒng)密切相關，使得一些簡單的有理數(shù)在循環(huán)小數(shù)表示法中的表示形式相當復雜。如117=0.05882352941176470588235294117647? ? -->=0.0588235294117647ˉ ˉ -->{\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}

但在某些進位制當中反而因為循環(huán)節(jié)較短，使得看起來相當簡單。如117=111(16)=0.0F0F? ? -->(16)=0.0Fˉ ˉ -->(16){\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}}

參見

證明0.999...等于1

Midy定理

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