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定義

在代數(shù)幾何中，一個概形S{\displaystyle S}上的群概形G{\displaystyle G}是范疇SchS{\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}中的群對象。借由米田信夫引理，我們可以給出兩種刻劃：

以乘法、單位元與逆元定義：存在SchS{\displaystyle \mathrm {Sch} _{S}}中的態(tài)射

并滿足結(jié)合律等等群的性質(zhì)。

以函子性定義：點函子hG:SchS→ → -->Set{\displaystyle h_{G}:\mathrm {Sch} _{S}\rightarrow \mathrm {Set} }透過遺忘函子Group→ → -->Set{\displaystyle \mathrm {Group} \rightarrow \mathrm {Set} }分解。。

換言之：對于任意的S{\displaystyle S}-概形T{\displaystyle T}，G(T){\displaystyle G(T)}構(gòu)成一個群；而且對任意S{\displaystyle S}-態(tài)射T′→ → -->T{\displaystyle T"\rightarrow T}，誘導(dǎo)映射G(T)→ → -->G(T′){\displaystyle G(T)\rightarrow G(T")}都是群同態(tài)。

代數(shù)群：設(shè)k{\displaystyle k}為域，Spec(k){\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}上的連通、光滑群概形稱作k{\displaystyle k}上的代數(shù)群。

李代數(shù)：群概形G{\displaystyle G}自然地作用在它的全體向量場上。G{\displaystyle G}的全體左不變向量場稱作G{\displaystyle G}的李代數(shù)，記為Lie(G){\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}；它是S{\displaystyle S}上的層。

例子

交換環(huán)譜Spec(A){\displaystyle \mathrm {Spec} (A)}的群概形結(jié)構(gòu)一一對應(yīng)到A{\displaystyle A}的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)。

阿貝爾簇：即一個域k{\displaystyle k}上的真（proper）代數(shù)群，它們必然是可交換的。

線性代數(shù)群：即GL(n){\displaystyle GL(n)}中的閉子群。仿射代數(shù)群都是線性代數(shù)群，它們在表示理論及數(shù)論中占有根本地位。Chevalley定理斷言：若k{\displaystyle k}代數(shù)封閉，則對所有代數(shù)群G{\displaystyle G}都存在短正合列1→ → -->H→ → -->G→ → -->A→ → -->1{\displaystyle 1\rightarrow H\rightarrow G\rightarrow A\rightarrow 1}，其中H{\displaystyle H}是線性代數(shù)群而A{\displaystyle A}是阿貝爾簇。在此意義下，所有代數(shù)群都是由阿貝爾簇與線性代數(shù)群建構(gòu)而來。

設(shè)char(k)=p>0{\displaystyle \mathrm {char} (k)=p>0}，并考慮k[T]/Tpr,k[T,T? ? -->1]/(Tpr? ? -->1){\displaystyle k[T]/T^{p^{r}},k[T,T^{-1}]/(T^{p^{r}}-1)}的譜。這些群在拓樸上只有一個點，但其結(jié)構(gòu)層帶有冪零元素。這些子群在代數(shù)群的研究中相當(dāng)常見，同時也是理解char(k)>0{\displaystyle \mathrm {char} (k)>0}時的代數(shù)群之重要關(guān)鍵。

文獻(xiàn)

A. Borel, Linear Algebraic Groups 2nd enlarged edition (1991), Graduate Texts in Mathematics 126, Springer.

M. Demazure et P. Gabriel, Groupes algébriques: Tome I（1970）, PA Masson

D. Mumford, Abelian Varieties（1970）, Oxford Univ. Press

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