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實例

幾何光學(xué)中的費馬原理

力學(xué)中的最小作用量原理，電磁理論，及量子力學(xué)

根據(jù)斯蒂芬·沃爾夫勒姆的說法（參見一種新科學(xué)一書1052頁），愛因斯坦場方程也涉及一個變分原理，作為愛因斯坦-希爾伯特作用量的約束。

量子力學(xué)中的變分原理

假設(shè)你想計算一個哈密頓量為H的體系的基態(tài)能量Egs，換句話說，已經(jīng)知道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定諤方程來找出波函數(shù)，可以任意猜測一個歸一化的波函數(shù)，比如說φ，結(jié)果是根據(jù)猜測的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會高于實際的基態(tài)能量。換言之：

這對于所猜測的任何φ都適用。

證明

任一個波函數(shù)φ都可以展開為哈密頓算符的實際本征函數(shù)的線性組合（我們假定這些本征函數(shù)是正交歸一的）：

那么，哈密頓算符的期望值是：

如果把En{\displaystyle E_{n}}替換成基態(tài)能量Eg{\displaystyle E_{g}}，從求和公式中提出來，那么等號變成大于等于號。亦即：

推廣

給定一個描述所研究的體系的哈密頓算符H和任意可歸一化的并帶有適當(dāng)體系未知波函數(shù)參數(shù)的函數(shù)Ψ，我們定義泛函：

那么變分原理說明：

ε ε -->≥ ≥ -->E0{\displaystyle \varepsilon \geq E_{0}}，式中E0{\displaystyle E_{0}}是該哈密頓算符的具有最低能量的本征態(tài)（基態(tài)）。

ε ε -->=E0{\displaystyle \varepsilon =E_{0}}當(dāng)且僅當(dāng)Ψ Ψ -->{\displaystyle \Psi }確切地等同于研究體系的基態(tài)。

上述變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來近似求解體系基態(tài)。

延伸閱讀

Epstein S T 1974 "The Variation Method in Quantum Chemistry". (New York: Academic)

Lanczos C, The Variational Principles of Mechanics (Dover Publications)

Nesbet R K 2003 "Variational Principles and Methods In Theoretical Physics and Chemistry". (New York: Cambridge U.P.)

Adhikari S K 1998 "Variational Principles for the Numerical Solution of Scattering Problems". (New York: Wiley)

Gray C G, Karl G and Novikov V A 1996 Ann. Phys. 251 1.

參見

作用原理

物理學(xué)史

外部鏈接和參考資料

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 013805326X. 

Stephen Wolfram, A New Kind of Sciencep. 1052

Gray, C.G., G. Karl, and V. A. Novikov, "Progress in Classical and Quantum Variational Principles". 11 Dec 2003. physics/0312071 Classical Physics.

Venables, John, "The Variational Principle and some applications". Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graduate Course: Quantum Physics)

Williamson, Andrew James, "The Variational Principle-- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations". Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (dissertation of Doctor of Philosophy)

Tokunaga, Kiyohisa, "Variational Principle for Electromagnetic Field". Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI

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