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角動(dòng)量量子化

在量子力學(xué)里角動(dòng)量是量子化的：系統(tǒng)的角動(dòng)量不能任意地取某實(shí)數(shù)值而只能取以約化普朗克常數(shù) ? ? --> {\displaystyle \hbar } 為單位整數(shù)或半整數(shù)倍。粒子的運(yùn)動(dòng)軌道造成的角動(dòng)量必須取 ? ? --> {\displaystyle \hbar } 的整數(shù)倍。另外實(shí)驗(yàn)證明大部分亞原子粒子都擁有一種和運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的先天角動(dòng)量叫自旋。自旋以 ? ? --> 2 {\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}} 的倍數(shù)出現(xiàn)。

量子化角動(dòng)量和不確定性原理

角動(dòng)量是位移與動(dòng)量的矢量積。而量子力學(xué)里位移與同方向動(dòng)量是非對(duì)易的因此各獨(dú)立方向的角動(dòng)量分別非對(duì)易：

? ? --> i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}}列維-奇維塔符號(hào)塔符號(hào)。

[ A , B ] = A B ? ? --> B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA} 是交換子。

根據(jù)海森堡不確定原理非對(duì)易的物理量不能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)。因此角動(dòng)量矢量的各方向部可以各自但不能同時(shí)確定。雖然如此但是角動(dòng)量矢量的長(zhǎng)度是可和任意一部同時(shí)確定：

因此算符 L 2 {\displaystyle L^{2}} 和 L z {\displaystyle L_{z}} （任選一方向?yàn)閦）有共同的特征波函數(shù)。 L 2 {\displaystyle L^{2}} 在球坐標(biāo)系表現(xiàn)為：

其中 θ θ --> {\displaystyle \theta } 是位移與 z {\displaystyle z} 軸夾角， ? ? --> {\displaystyle \phi } 是繞 z {\displaystyle z} 軸旋轉(zhuǎn)的角度。 它和 L z {\displaystyle L_{z}} 的共同特征函數(shù)

是球諧函數(shù)：

l {\displaystyle l} 是某非負(fù)整數(shù)。 ? ? --> l ≤ ≤ --> m ≤ ≤ --> l {\displaystyle -l\leq m\leq l} 是絕對(duì)值不大于 l {\displaystyle l} 的整數(shù)。

能量均分與角動(dòng)量量子化

經(jīng)典力學(xué)內(nèi)角動(dòng)量是可以取任意連續(xù)值會(huì)導(dǎo)至熱力學(xué)上一些吊詭。角動(dòng)量量子化給這些問(wèn)題完美的答案，這也是角動(dòng)量量子化有其必要性的證據(jù)之一。 在熱力學(xué)里平均能量和系統(tǒng)自由度有關(guān)。例如忽略?xún)?nèi)部結(jié)構(gòu)的單原子分子組成的理想氣體平均能量是 E N = 3 2 k B T {\displaystyle {\frac {E}{N}}={\frac {3}{2}}k_{B}T} ：三維空間運(yùn)動(dòng)的分子的每個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)方向分別給于平均能量 k B T 2 {\displaystyle {\frac {k_{B}T}{2}}} 。這是能量均分定理。

假設(shè)除了三維的平移運(yùn)動(dòng)，氣體的分子是由兩種原子組成。而原子可以相互環(huán)繞運(yùn)動(dòng)。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題假設(shè)所有分子的原子對(duì)只能環(huán)繞z軸運(yùn)動(dòng)。它們旋轉(zhuǎn)的動(dòng)能量是：

L z {\displaystyle L_{z}} 是分子旋轉(zhuǎn)的角動(dòng)量， I {\displaystyle I} 是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和原子的距離平方成正比。從運(yùn)用統(tǒng)計(jì)力學(xué)的配分函數(shù)

（ β β --> = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}} 是溫度 T {\displaystyle T} 的倒數(shù)）可以得到經(jīng)典旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)平均能量的貢獻(xiàn)：

也就是新的旋轉(zhuǎn)自由度和每平移運(yùn)動(dòng)方向給與一樣的能量。

但是，旋轉(zhuǎn)的貢獻(xiàn)并不決定于分子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I {\displaystyle I} 也就是和原子的距離無(wú)關(guān)。但這和我們期待原子距離或分子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量趨向0時(shí)回到無(wú)旋轉(zhuǎn)的結(jié)果相矛盾。這就是經(jīng)典力學(xué)引起的吊詭：能量均分定理允許透過(guò)宏觀(guān)觀(guān)察得到所有微觀(guān)自由度的信息：盡管由很多基本粒子組成的原子一般擁有遠(yuǎn)高于宏觀(guān)觀(guān)察的自由度。 問(wèn)題的解決來(lái)自角動(dòng)量量子化。因?yàn)槲⒂^(guān)角動(dòng)量不能取任意的連續(xù)值因此以上用積分計(jì)算配分函數(shù)是不正確的。配分函數(shù)應(yīng)該是一個(gè)和：

在溫度很高（ β β --> → → --> 0 {\displaystyle \beta \to 0} ）或分子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大的情況下，每項(xiàng)間變化緩慢。用積分來(lái)進(jìn)似近似以上和是可接受的。在這情況下選轉(zhuǎn)的確和一般自由度一樣。上段得到的結(jié)果是正確的。但在溫度很低或分子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小的情況下 Z {\displaystyle Z} 主要貢獻(xiàn)來(lái)自 | n | {\displaystyle |n|} 小的前幾項(xiàng)：

因此對(duì)平均溫度的貢獻(xiàn)是：

而一個(gè)系統(tǒng)的量子旋轉(zhuǎn)特征和經(jīng)典旋轉(zhuǎn)特征的交叉點(diǎn)出現(xiàn)在溫度可以給與幾個(gè) ? ? --> {\displaystyle \hbar } 角動(dòng)量的能量：

參見(jiàn)

力矩

動(dòng)量

守恒定律

角速度

角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量算符

旋轉(zhuǎn)動(dòng)能

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

外部鏈接

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