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形式表示

形式邏輯中此定律表達(dá)形式：

在集合論中：

詳細(xì)解釋

在經(jīng)典命題邏輯的外延中，此二元性依然有效（即對于任意的邏輯運(yùn)算符，我們都能找他它的對偶），由于存在于調(diào)節(jié)否定關(guān)系的恒等式中，人們總會引入作為一個(gè)算符的德摩根對偶的另一個(gè)算符。這導(dǎo)致了基于傳統(tǒng)邏輯的邏輯學(xué)的一個(gè)重要性質(zhì)，即否定范式的存在性：任何公式等價(jià)于另外一個(gè)公式，其中否定僅出現(xiàn)在作用于公式中非邏輯的原子時(shí)。否定常型的存在推進(jìn)了許多應(yīng)用，例如在數(shù)字電路設(shè)計(jì)中該性質(zhì)用于操縱邏輯門，以及在形式邏輯中該性質(zhì)是尋找一個(gè)公式的合取范式和析取范式的必要條件；電腦程序員們則用它們將一個(gè)類似于IF ... AND (... OR ...) THEN ... 這樣的復(fù)雜語句轉(zhuǎn)變?yōu)槠鋵Φ刃问剑凰鼈円餐瑯咏?jīng)常用于初等概率論中的計(jì)算。

我們將基于基本命題 p , q 的任意命題算符P( p , q , ...)的對偶定義為：

該概念可以推廣到邏輯量詞上，例如全稱量詞和存在量詞互為對偶：

為對德摩根定律敘述這些量詞的二元性，設(shè)置一個(gè)在其域 D 中具有少量元素的模型，例如

則

以及

但，應(yīng)用德摩根定律，

以及

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭辛吭~的二元性。

從而，量詞的二元性可進(jìn)一步延伸到模態(tài)邏輯中的方塊和菱形算符：

在其用于可能性和必然性的真勢模態(tài)的應(yīng)用中，亞里士多德注意到該情況，以及在正規(guī)模態(tài)邏輯的情況中，這些模態(tài)算符對量化的關(guān)系可借助按關(guān)系語義設(shè)置模型來理解。

參見

布爾代數(shù)主題列表

注釋與參考資料

引用

“應(yīng)注意到一個(gè)析取命題的對立命題是由該析取命題各部分的對立內(nèi)容構(gòu)成的一個(gè)合取命題” ——奧卡姆的威廉著，《邏輯學(xué)論文》

參考文獻(xiàn)

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