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定義

設(shè){xn},xn∈ ∈ -->R,n=1,2,… … -->,x0∈ ∈ -->R{\displaystyle \{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R} }，

對于任意的正實數(shù)? ? -->{\displaystyle \epsilon }，存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，有 |xn? ? -->x0|{\displaystyle |x_{n}-x_{0}| ，

用符號來表示即 ? ? -->? ? -->>0,? ? -->N∈ ∈ -->N,? ? -->n>N,|xn? ? -->x0|{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|

則稱數(shù)列{xn}{\displaystyle \{x_{n}\}}收斂于x0{\displaystyle x_{0}}，記作limn→ → -->∞ ∞ -->xn=x0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}。

收斂數(shù)列

其中一個判斷數(shù)列是否收斂的定理，稱為單調(diào)收斂定理，和實數(shù)完備性相關(guān)：單調(diào)有界數(shù)列必收斂，即是說，有上界的單調(diào)遞增數(shù)列，或是有下界的單調(diào)遞減數(shù)列，必然收斂。

數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1（唯一性）若數(shù)列{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}的極限存在，則極限是唯一的.

定理2（有界性）若數(shù)列{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}有極限，則{xn}{\displaystyle \left\{{x_{n}}\right\}}有界，即? ? -->M>0,? ? -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \exists M>0,\forall n\in {\rm {N}}}，有|xn|≤ ≤ -->M{\displaystyle \left|{x_{n}}\right|\leq M}.

但有界數(shù)列不一定有極限，如數(shù)列

1,0,1,0,? ? -->1? ? -->(? ? -->1)n2,? ? -->{\displaystyle 1,0,1,0,\cdots {\frac {1-{{\left({-1}\right)}^{n}}}{2}},\cdots }

有界，但無極限.

如數(shù)列無界，則數(shù)列發(fā)散.

定理3（保序性）若limn→ → -->∞ ∞ -->xn=a{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}，limn→ → -->∞ ∞ -->yn=b{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}，且a>b{\displaystyle a>b}，則? ? -->N∈ ∈ -->N{\displaystyle \exists N\in {\rm {N}}}，? ? -->n∈ ∈ -->N{\displaystyle \forall n\in N}，有xn>yn{\displaystyle {x_{n}}>{y_{n}}}.

數(shù)列的四則運算

設(shè)limn→ → -->∞ ∞ -->xn=a{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}，limn→ → -->∞ ∞ -->yn=b{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}，則

（1）limn→ → -->∞ ∞ -->(xn± ± -->yn)=limn→ → -->∞ ∞ -->xn± ± -->limn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}}；

（2）limn→ → -->∞ ∞ -->xn? ? -->yn=limn→ → -->∞ ∞ -->xn? ? -->limn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}}；

（3）若b≠ ≠ -->0,yn≠ ≠ -->0{\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0},則limn→ → -->∞ ∞ -->xnyn=limn→ → -->∞ ∞ -->xnlimn→ → -->∞ ∞ -->yn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}}.

參看

級數(shù)

極限

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