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定義

設(shè) S 為拓?fù)淇臻g X {\displaystyle X} 的一個子集，若所有包含 x （注意 x 不一定屬于 S ）的開集也包含至少一個 S 內(nèi)的非 x 的點，即稱 x 為 S 的 極限點 。由 S 內(nèi)所有極限點所組成的集合稱為 S 的導(dǎo)集，標(biāo)記為 S ′ {\displaystyle S"} 。

在T 1 空間里，上述定義和要求 x 的每個鄰域皆包含無限多個 S 的點是等價的。（在定義中使用“開鄰域”的形式來證明一個點是極限點，使用“一般鄰域”的形式來得到一個已知極限點的性質(zhì)，這樣通常會比較輕松。）

另外，若 X 為序列空間，則可稱 x ∈ X 為 S 的極限點，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個由 S \ { x }的點組成的ω序列，其極限為 x ；這也是“極限點”此一名稱的由來。

特殊類型的極限點

如果包含 x 的所有開集都包含無限多個 S 的點，則 x 是特殊類型極限點，稱為 S 的 ω ‐ 會聚點 （ ω‐accumulation point ）。

如果包含 x {\displaystyle x} 的所有開集都包含不可數(shù)多個 S {\displaystyle S} 的點，則 x {\displaystyle x} 是特殊類型的極限點，稱為 S {\displaystyle S} 的 縮合點 （ condensation point ）。

ω ‐ 會聚點

在度量空間中， ω ‐ 會聚點與普通的極限點定義等價。在拓?fù)淇臻g中，兩者概念不再等價。對于非強拓?fù)淇臻g，一個所有 ω ‐ 會聚點都屬于本身的集合不一定是閉集，但一個所有極限點都屬于本身（導(dǎo)集包含于自身）的集合必為閉集。

（度量空間的）聚集點

在帶有距離 d 的度量空間 X 中，稱 X 中點 x 是序列 x n 的 聚集點 （cluster point）或 會聚點 （accumulation point），是指對于所有 ε > 0，有無限多的 n 值使得 d ( x , x n ) < ε 。等價的說，所有 x 的開鄰域包含對無限多 n 的 x n 。

序列中的點的集合的極限點是這個序列的聚集點。但是，如果對于無限多的 n ， x n 的值是相等的，這個點是這個序列的聚集點但不必然是在這個序列中的點的集合的極限點。

序列的聚集點是子序列極限：即某個子序列的極限。

網(wǎng)的概念推廣了序列的想法。在網(wǎng)中的聚集點包括了縮合點和ω-會聚點二者的想法。

如果φ是在 X 上的基于有向集合 D 的網(wǎng)，而 A 是 X 的子集，則φ經(jīng)常在 A 中，如果對于所有 D 中的α存在某個β ≥ α有β在 D 中，所以φ(β)在 A 中。在 X 中的點 x 被稱為是網(wǎng)的會聚點或聚集點，當(dāng)且僅當(dāng)對于 x 的鄰域 U ，這個網(wǎng)經(jīng)常在 U 中。

聚集和極限點也定義于濾子的相關(guān)主題中。

序列的所有聚集點的集合有時叫做極限集合。

性質(zhì)

關(guān)于極限點的性質(zhì)： x {\displaystyle x} 是 S {\displaystyle S} 的極限點，當(dāng)且僅當(dāng)它屬于 S {\displaystyle S} \ { x {\displaystyle x} }的閉包。

S {\displaystyle S} 的閉包具有下列性質(zhì)： S {\displaystyle S} 的閉包等于 S {\displaystyle S} 和其導(dǎo)集的并集。

上述結(jié)論的推論給出了閉集的性質(zhì)：集合 S {\displaystyle S} 是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)它含有所有它的極限點。

孤點不是任何集合的極限點。

空間 x {\displaystyle x} 是離散空間，當(dāng)且僅當(dāng) x {\displaystyle x} 的子集都沒有極限點。

若空間 x {\displaystyle x} 有密著拓?fù)?，?S {\displaystyle S} 是 x {\displaystyle x} 的多于一個元素的子集，則 x {\displaystyle x} 的所有元素都是 S {\displaystyle S} 的極限點。若 S {\displaystyle S} 是單元素集合，則所有 x {\displaystyle x} \ S {\displaystyle S} 的點仍然是 S {\displaystyle S} 的極限點。

引用

PlanetMath上limit point的資料。

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