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貝葉斯概率的歷史

貝葉斯理論和貝葉斯概率以托馬斯·貝葉斯（1702－1761）命名，他證明了現(xiàn)在稱為貝葉斯定理的一個(gè)特例。術(shù)語貝葉斯卻是在1950年左右開始使用，很難說貝葉斯本人是否會(huì)支持這個(gè)以他命名的概率非常廣義的解釋。拉普拉斯證明了貝葉斯定理的一個(gè)更普遍的版本，并將之用于解決天體力學(xué)、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)中的問題，在有些情況下，甚至用于法理學(xué)。但是拉普拉斯并不認(rèn)為該定理對(duì)于概率論很重要。他還是堅(jiān)持使用了概率的經(jīng)典解釋。

弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊在《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（1931年）中首次建議將主觀置信度作為概率的一種解釋。Ramsey視這種解釋為概率的頻率解釋的一個(gè)補(bǔ)充，而頻率解釋在當(dāng)時(shí)更為廣泛接受。統(tǒng)計(jì)學(xué)家Bruno de Finetti于1937年采納了Ramsey的觀點(diǎn)，將之作為概率的頻率解釋的一種可能的代替。L. J. Savage在《統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)》（1954年）中拓展了這個(gè)思想。

有人試圖將“置信度”的直觀概念進(jìn)行形式化的定義和應(yīng)用。最普通的應(yīng)用是基于打賭:置信度反映在行為主體愿意在命題上下注的意愿上。

當(dāng)信任有程度的時(shí)候，概率計(jì)算的定理測(cè)量信任的理性程度，就像一階邏輯的定理測(cè)量信任的理性程度一樣。很多人將置信度視為經(jīng)典的真值（真或假）的一種擴(kuò)展。

Harold Jeffreys, Richard T. Cox, Edwin Jaynes和I. J. Good研探了貝葉斯理論。其他著名貝葉斯理論的支持者包括John Maynard Keynes和B.O. Koopman。

貝葉斯概率的變種

術(shù)語主觀概率, 個(gè)人概率, 認(rèn)知概率和邏輯概率描述了通常成為貝葉斯學(xué)派的思想中的一些。這些概念互相重疊，但有不同的側(cè)重。這里提到的一些人物不會(huì)自稱是貝葉斯學(xué)派的。

貝葉斯概率應(yīng)該測(cè)量某一個(gè)體對(duì)于一個(gè)不確定命題的置信程度，因此在這個(gè)意義下是主觀的。有些自稱貝葉斯學(xué)派的人并不接受這種主觀性?？陀^主義學(xué)派的主要代表是Edwin Thompson Jaynes和Harold Jeffreys。也許現(xiàn)在還在世的主要客觀貝葉斯學(xué)派人物是杜克大學(xué)的James Berger。Jose Bernardo和其他一些人接受一定程度的主觀性，但相信在很多實(shí)際情況中有使用"先驗(yàn)參照（reference priors）"的需要。

邏輯（或者說，客觀認(rèn)知）概率的推崇者，例如Harold Jeffreys, Rudolf Carnap, Richard Threlkeld Cox和Edwin Jaynes, 希望將能夠在兩個(gè)有相同關(guān)于某個(gè)不確定命題的真實(shí)性相關(guān)的信息的人計(jì)算出同樣的概率的技術(shù)規(guī)律化。這種概率不和個(gè)人相關(guān)，而只和認(rèn)知情況相關(guān)，因此位于主觀和客觀之間。但是，他們推薦的方法有爭(zhēng)議。批評(píng)者對(duì)這個(gè)聲稱發(fā)起挑戰(zhàn)，在關(guān)于相關(guān)事實(shí)的信息缺乏的時(shí)候，更偏好某一個(gè)置信度是有現(xiàn)實(shí)依據(jù)的。另一個(gè)問題是迄今為止的技術(shù)對(duì)于處理實(shí)際問題還是不夠的。

貝葉斯概率和頻率概率

貝葉斯概率和統(tǒng)計(jì)概率相對(duì)，它從確定的分布中觀測(cè)到的頻率或者在樣本空間中的比例來導(dǎo)出概率。

采用統(tǒng)計(jì)概率的統(tǒng)計(jì)和概率的理論由R.A. Fisher, Egon Pearson和Jerzy Neyman在20世紀(jì)上半葉發(fā)展起來。A. N. Kolmogorov也采用頻率概率來通過勒貝格積分為測(cè)度論中的概率奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（《概率論基礎(chǔ)》(1933年)）。Savage, Koopman, Abraham Wald和其他一些學(xué)者自1950年以來發(fā)展了貝葉斯概率。

貝葉斯學(xué)派和頻率學(xué)派在概率解釋上的分歧在統(tǒng)計(jì)學(xué)實(shí)踐上有重要的結(jié)果。例如，在用同樣的數(shù)據(jù)比較兩個(gè)假設(shè)的時(shí)候，假設(shè)測(cè)試?yán)碚摶诟怕实念l率解釋，它允許基于錯(cuò)誤推出數(shù)據(jù)更支持另外那個(gè)模型/假設(shè)的概率來否定或接受一個(gè)模型/假設(shè)（零假設(shè)）。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的概率稱為一類誤差，它要求考慮從同樣的數(shù)據(jù)源導(dǎo)出的假想的數(shù)據(jù)集合要比實(shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)更為極端。這個(gè)方法允許論斷"或者兩個(gè)假設(shè)不同或者觀測(cè)到的數(shù)據(jù)是誤導(dǎo)性的集合"。 相對(duì)應(yīng)的是，貝葉斯方法基于實(shí)際觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，因此能夠?qū)τ谌魏螖?shù)量的假設(shè)直接賦予后驗(yàn)概率。對(duì)于代表每個(gè)假設(shè)的模型的參數(shù)必須賦予概率的要求是這種直接方法的代價(jià)。

貝葉斯概率的應(yīng)用

自1950年代以來，貝葉斯理論和貝葉斯概率通過考克斯定理, Jaynes的最大熵原理以及荷蘭書論證得到了廣泛的應(yīng)用。在很多應(yīng)用中，貝葉斯方法更為普適，也似乎較頻率概率能得出更好的結(jié)果。貝葉斯因子也和奧卡姆剃刀一起使用。數(shù)學(xué)應(yīng)用請(qǐng)參看貝葉斯推論和貝葉斯定理。

有些人將貝葉斯推論視為科學(xué)方法的一種應(yīng)用，因?yàn)橥ㄟ^貝葉斯推論來更新概率要求從對(duì)于不同假設(shè)的初始信任度出發(fā)，采集新的信息（例如通過做試驗(yàn)），然后根據(jù)新的信息調(diào)整原有的信念。調(diào)整原有的信念可以意味著（更加接近）接受或者推翻初始的假設(shè)。

貝葉斯技術(shù)最近被應(yīng)用于垃圾郵件的過濾上。貝葉斯垃圾郵件過濾器采用電子郵件的一個(gè)參考集合來定義什么最初被認(rèn)為是垃圾郵件。定義了參考之后，過濾器使用參考中的特點(diǎn)來將新的郵件判定為垃圾郵件或有效郵件。新電子郵件作為新的信息出現(xiàn)，并且如果用戶在垃圾郵件和有效郵件的判定中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，這個(gè)新的信息會(huì)更新初始參考集合中的信息，以期將來的判定可以更為精確。參看貝葉斯推斷和貝葉斯過濾。

概率之概率

對(duì)于貝葉斯概率解釋曾有過的一個(gè)批評(píng)是一個(gè)單獨(dú)的概率賦值不能給出信念的真實(shí)性——也即，它有多少科學(xué)實(shí)證?？紤]如下的這些情況：

你有一個(gè)裝了白球和黑球的盒子，但是不知道它們的數(shù)量

你有一個(gè)盒子，你從中取了n個(gè)球，一半黑，一半白

你有一個(gè)盒子，你知道有同樣數(shù)量的黑球和白球

下一個(gè)取出的球是黑球的貝葉斯概率對(duì)于所有三種情況都是0.5。Keynes稱這為“證據(jù)的權(quán)重”問題。一個(gè)反映這些證據(jù)支持的區(qū)別的方法是對(duì)于這些概率本身賦予概率（所謂的“元概率”）如下：

其它貝葉斯概率論者辯解說概率不一定要是精確的數(shù)字。

因?yàn)轭l率解釋中沒有元概率的容身之地，頻率論者必須用其它方式表達(dá)證據(jù)支持。Cedric Smith和Arthur Dempster分別發(fā)展了上下極限。Glenn Shafer進(jìn)一步發(fā)展了Dempster的理論，現(xiàn)在它被稱為Dempster-Shafer理論。

爭(zhēng)議

頻率概率論者對(duì)屬于可能有很多不同的解釋。在這些解釋中，什么是可能的不依賴于觀察者的喜好，而是將事件作為可以應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析的工具的某個(gè)聚合的成員。

雖然沒有理由不在不同的上下文中使用一個(gè)詞的不同解釋（意義）

參看

概率解釋

頻率概率

不確定性

推理

貝葉斯推理

末日論證，貝葉斯推理的有爭(zhēng)議的一個(gè)應(yīng)用

最大熵?zé)崃W(xué) - 貝葉斯觀點(diǎn)的熱力學(xué)

數(shù)學(xué)哲學(xué)

外部鏈接及參考

On-line textbook: Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, by David MacKay, has many chapters on Bayesian methods, including introductory examples; arguments in favour of Bayesian methods (in the style of Edwin Jaynes); state-of-the-art Monte Carlo methods, message-passing methods, and variational methods; and examples illustrating the intimate connections between Bayesian inference and data compression.

A nice on-line introductory tutorial to Bayesian probabilityfrom Queen Mary University of London

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Jeff Miller"Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B)"

James FranklinThe Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, history from a Bayesian point of view.

Paul Graham"Bayesian spam filtering"

novomind AG"Outlook categorizing tool based on Bayesian filtering"

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Is the portrait of Thomas Bayes authentic?Who Is this gentleman? When and where was he born?The IMS Bulletin, Vol. 17 (1988), No. 3, pp. 276-278

BayesianSpam FilterforMicrosoft Outlook

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