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導(dǎo)引

假設(shè)，一個(gè)物理系統(tǒng)的量子態(tài)為 Φ Φ --> ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,\ t)} ，則算符 A {\displaystyle A} 的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

薛定諤方程表明哈密頓算符 H {\displaystyle H} 與時(shí)間 t {\displaystyle t} 的關(guān)系為

其共軛復(fù)數(shù)為

因?yàn)楣茴D算符是厄米算符， H ? ? --> = H {\displaystyle H^{*}=H} 。所以，

將這三個(gè)方程代入 d d t ? ? --> A ? ? --> {\displaystyle {\frac hta9sdw{dt}}\langle A\rangle } 的方程，則可得到

所以，埃倫費(fèi)斯特定理成立：

實(shí)例

使用埃倫費(fèi)斯特定理，可以簡(jiǎn)易地證明，假若一個(gè)物理系統(tǒng)的哈密頓量顯性地不含時(shí)間，則這系統(tǒng)是保守系統(tǒng)。

從埃倫費(fèi)斯特定理，可以計(jì)算任何算符的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為。

保守的哈密頓量

思考哈密頓算符 H {\displaystyle H} ：

假若，哈密頓量顯性地不含時(shí)間， ? ? --> H ? ? --> t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0} ，則

哈密頓量是個(gè)常數(shù) H 0 {\displaystyle H_{0}} 。

位置的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

試想一個(gè)質(zhì)量為 m {\displaystyle m} 的粒子，移動(dòng)于一維空間．其哈密頓量是

其中， x {\displaystyle x} 為位置， p {\displaystyle p} 是動(dòng)量， V {\displaystyle V} 是位勢(shì)。

應(yīng)用埃倫費(fèi)斯特定理，

由于 x p p ? ? --> p p x = i 2 ? ? --> p {\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p} ，位置的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于速度的期望值：

這樣，可以得到動(dòng)量 p {\displaystyle p} 的期望值。

動(dòng)量的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

應(yīng)用埃倫費(fèi)斯特定理，

由于 p {\displaystyle p} 與自己互相交換，所以， [ p , p 2 ] = 0 {\displaystyle [p,\ p^{2}]=0} 。又在坐標(biāo)空間里，動(dòng)量算符 p = ? ? --> i ? ? --> ? ? --> x {\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}} 不含時(shí)間： ? ? --> p ? ? --> t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0} 。所以，

將泊松括號(hào)展開，

使用乘法定則，

在量子力學(xué)里，動(dòng)量的期望值對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用力 F {\displaystyle F} 的期望值。

經(jīng)典極限

取經(jīng)典極限 ， ? ? ? --> V ( x ) ? ? --> x ? ≈ ≈ --> ? ? --> V ( ? ? --> x ? ? --> ) ? ? --> ? ? --> x ? ? --> {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} ，則可得到一組完全的量子運(yùn)動(dòng)方程：

這組量子運(yùn)動(dòng)方程，精確地對(duì)應(yīng)于經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程：

取“經(jīng)典極限”，量子力學(xué)的定律約化為經(jīng)典力學(xué)的定律。這結(jié)果也時(shí)常被稱為 埃倫費(fèi)斯特定理 。這經(jīng)典極限是什么呢？標(biāo)記 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,"(x)} 為 ? ? --> V ( x ) ? ? --> x {\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。設(shè)定 ? ? --> x ? ? --> = x 0 {\displaystyle \langle x\rangl泰勒=x_{0}} 。泰勒展開 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,"(x)} 于 x 0 {\displaystyle x_{0}} ：

由于 ? ? --> x ? ? --> x 0 ? ? --> = 0 {\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0} ， ? ? --> ( x ? ? --> x 0 ) 2 ? ? --> = σ σ --> x 2 {\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}} ，

這近似方程右手邊的第二項(xiàng)目就是誤差項(xiàng)目。只要這誤差項(xiàng)目是可忽略的，就可以取經(jīng)典極限。而這誤差項(xiàng)目的大小跟以下兩個(gè)因素有關(guān)：

一個(gè)是量子態(tài)對(duì)于位置的不可確定性。

另一個(gè)則是位勢(shì)隨著位置而變化的快緩。

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