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三維形式的推導(dǎo)

考慮一個處于邊長為 L 的正方體內(nèi)無相互作用的費米子（如電子）組成的固態(tài)系統(tǒng)，其總體積 V = L 。由于該系統(tǒng)中的電子為其余離子所共享，并不束縛于特定的離子，不考慮電子間的相互作用以及彼此間的散射作用，與電子和離子間的散射作用，亦不考慮電子的自旋耦合作用，綜上，電子可視為束縛在該固態(tài)系統(tǒng)中的自由粒子，而由于采用以上的近似，故電子在該固態(tài)系統(tǒng)中的能量為三維無限深方形阱中的特征能量，為量子化分布。因此該系統(tǒng)的波函數(shù)可寫為：

在某一能級上一個粒子的能量為：

在絕對零度時，該費米子系統(tǒng)中存在具有最高能量即 費米能 的一個粒子，將該粒子所處的 態(tài) 記為 n F 。對于具有 N 個費米子的系統(tǒng)，其 n F 須滿足：

或簡化為

帶入 E n 能量式，即得到費米能的表達式：

利用幾何關(guān)系（將 L 寫成 V ），既得到用單位體積中的粒子數(shù)表示的費米能：

典型的費米能

白矮星

白矮星是宇宙中一類質(zhì)量與太陽相當，但半徑約只有太陽的1/100的天體。這種天體的高密度使的其中的電子不是被各自所屬的單個原子核束縛，而是以簡并電子氣的形式存在。白矮星中的體積電子數(shù)密度為10 個/m 量級。利用前面的公式可以得到其費米能為：

原子核

另一個典型例子是構(gòu)成原子核的核子（即質(zhì)子和中子）。原子核半徑約為：

所以原子核的核子數(shù)密度為：

所以原子核的費米能約為：

費米能級

費米能級是絕對零度下電子的最高能級。根據(jù)泡利不相容原理，同一個量子態(tài)不能容納兩個或兩個以上的費米子，所以在絕對零度下，電子將從低到高依次填充各能級，形成電子能態(tài)的“ 費米海 ”[1]。“費米?！敝忻總€電子的平均能量為（絕對零度下)：

其中 E F {\displaystyle E_{F}} 為費米能。

費米面上電子（或其它費米子）的動量稱為 費米動量 ，滿足：

其中 m e {\displaystyle m_{e}} 為電子質(zhì)量。

這個概念通常應(yīng)用在能量和動量之間的色散關(guān)系上，與動量的方向無關(guān)。更一般的情況下，費米能更具有普遍意義。

費米速度 指絕對零度下電子繞原子核運動的最高速度，該速度對應(yīng)于前面給出的費米能量。費米速度定義為：

其中 m e {\displaystyle m_{e}} 為電子質(zhì)量。

另一個相關(guān)的概念是 費米溫度 ，定義為：

其中 k B 為玻爾茲曼常數(shù)。

物質(zhì)在費米溫度以下會越來越顯著地表現(xiàn)出量子效應(yīng)。

量子力學(xué)解釋

各種物質(zhì)在達成平衡時電子能帶結(jié)構(gòu)的填補情形。由于泡利不相容原理，電子會填滿所有能級至費米能級，在金屬或半金屬里，費米能級位于能帶內(nèi)。在絕緣體與半導(dǎo)體里，費米能級位于帶隙內(nèi)。

根據(jù)量子力學(xué)理論，具有半奇數(shù)自旋量子數(shù)（通常為1/2）的費米子，如電子，遵循泡利不相容原理，即一個量子態(tài)只能被一個粒子所占據(jù)。因此，費米子在能級中的分布遵循費米-狄拉克分布。一個由無相互作用的費米子組成的系統(tǒng)的基態(tài)模型可按照如下的方法構(gòu)造：從無粒子系統(tǒng)開始，將粒子逐個填入現(xiàn)有而未被占據(jù)的最低能量的量子態(tài)，直到所有粒子全部填完。此時，系統(tǒng)的費米能就是 最高占據(jù)分子軌道 （highest occupied molecular orbital，縮寫為HOMO）的能量。在導(dǎo)電材料中，HOMO與 最低未占據(jù)分子軌道 （lowest unoccupied molecular orbital，縮寫為LUMO）是等價的。但在其它材料中，上述兩個軌道的能量會相差2-3電子伏。事實上這一能隙在導(dǎo)體中也存在，只是小得可以忽略而已。

自由電子氣

自由電子氣是借用理想氣體模型描述費米子系統(tǒng)性質(zhì)的量子力學(xué)模型。該模型中，粒子所處的量子態(tài)可用它們具有的動量來表征。對于周期性系統(tǒng)，譬如在金屬原子點陣中運動的電子，亦可類似地引入“ 準動量 ”的概念以表征量子態(tài)（參見條目布洛赫波）。無論上述哪種模型，其具有費米能的量子態(tài)都處于動量空間中的一個確定的曲面上，這個曲面稱為 費米面 。自由電子氣的費米面是一個球面；周期體系中的費米面則通常是扭曲面（參見條目布里淵區(qū)）。費米面包圍的體積決定了系統(tǒng)中的電子數(shù)，而費米面的拓撲結(jié)構(gòu)則與金屬的各種傳導(dǎo)性質(zhì)（如電導(dǎo)率）直接相關(guān)。對費米面的研究有時被稱為“ 費米學(xué) ”（Fermiology）。如今，絕大多數(shù)金屬的費米面均已經(jīng)有較透徹的理論與實驗研究。

自由電子氣的費米能與化學(xué)勢之間存在如下關(guān)系：

其中 E F 為費米能， k B 為玻爾茲曼常數(shù)， T 為絕對溫度。從上式可以看出，當溫度遠低于 費米溫度 E F / k B 時，系統(tǒng)的化學(xué)勢與費米能近似相等。金屬的費米溫度為10 K量級，因此在室溫（300 K）下，系統(tǒng)的費米能與化學(xué)勢基本上是相等的。這在應(yīng)用上是一個重要的結(jié)論，因為費米-狄拉克分布的表達式現(xiàn)的是化學(xué)勢，而不是費米能

參見

費米氣體

半導(dǎo)體

電氣工程

電子學(xué)

熱力學(xué)

參考資料

黃昆原著，韓汝琦改編，《固體物理學(xué)》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 978-7-04-001025-1

蔡維理編，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)固體物理學(xué)課程課件（PowerPoint文件），主頁

Kroemer, Herbert; Kittel, Charles. Thermal Physics（2nd ed.）. W. H. Freeman Company. 1980. ISBN 978-0-7167-1088-2.

各種元素的費米能、費米速度、和費米溫度表 (英文)

關(guān)于費米氣體和費米溫度的討論。

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