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與四平方和定理之關(guān)系

在三世紀(jì)時，數(shù)學(xué)家丟番圖首先提出“是否每一個正整數(shù)都是四個平方數(shù)之和”的問題。1730年，歐拉開始研究該問題，但未得出證明。

第一個給出完整證明的是拉格朗日，他的證明用了歐拉的一個公式：

后來歐拉也給出另一證明。

華林猜想

1770年，華林發(fā)表了《代數(shù)沉思錄》（Meditationes Algebraicae），其中說，每一個正整數(shù)至多是9個立方數(shù)之和；至多是19個四次方之和。還猜想，每一個正整數(shù)都是可以表示成為至多r個k次冪之和，其中r依賴于k。

研究進展

1909年，大衛(wèi)·希爾伯特首先用復(fù)雜的方法證明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克給出了關(guān)于g(k)存在性的另一個證明。然而，盡管g(k)的存在性已被證明，人們尚且無法知曉g(k)與k之間的關(guān)系。華林自己推測g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

1770年，拉格朗日證明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亞瑟·韋伊費列治證明了g(3)=9。

1859年，劉維爾證明了g(4)<=53，他的想法是借助一個恒等式（Liouville polynomial identity）：

后來哈代和李特爾伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉瑪尼拉瑪尼安證明了g(4)=19。1896年馬力特得到g(5)<=192；1909年韋伊費列治將結(jié)果改進為g(5)<陳景潤；1964年陳景潤證明了g(5)=37。

事實上，萊昂哈德·歐拉之子J.A.歐拉猜想：g(k)=2k+[(32)k]? ? -->2{\displaystyle g(k)=2^{k}+\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right]-2}（"[q]"表示"q"的整數(shù)部分）。至1990年，對于6[3]

更強的問題

由于g(k)的值嚴(yán)重依賴于正整數(shù)較小時的情況，人們提出了一個更強的問題，求對于每個充分大的正整數(shù)，可使它們分解為k次方數(shù)的個數(shù)G(k)。此問題進展較慢，至今G(3)仍無法確定。

其他推廣

華林-哥德巴赫問題

陳述：對于任何一個正整數(shù)n，是否存在一個數(shù)k，使得每個充分大的整數(shù)都可以表示為k個質(zhì)數(shù)的n次冪的和？

此問題在1938年已被華羅庚證明成立。

表法數(shù)問題

任給一個正整數(shù)都是可以表為四個平方數(shù)之和。進一步，給定一個正整數(shù)，表示成為四個平方數(shù)的不同表示法有多少種？這問題已由雅可比給出了解答。

但是，對于立方和，四次方和等等的情況，仍然非常困難。

不限于正整數(shù)

考慮用有理數(shù)的方冪和來表示正有理數(shù)。

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